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1、新編高考數(shù)學復習資料
第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
【考綱下載】
1．理解等比數(shù)列的概念．
2．掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．
3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應的問題．[來源:]
4．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
1．等比數(shù)列的相關(guān)概念
(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列．
(2)公比：指定義中的“同一常數(shù)”，通常用字母q(q≠0)表示．
(3)定義的符號表示：＝q(q是常數(shù)且q≠0，n∈N*)，或＝q(n≥2，n∈N*，q為常數(shù)且q≠0
2、)．
2．等比數(shù)列的通項公式及其推廣
(1)等比數(shù)列的通項公式[來源:]
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，q≠0，則它的通項公式an＝a1·qn－1.
(2)通項公式的推廣
an＝am·qn－m.
3．等比中項
如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a和b的等比中項，那么＝，即G2＝ab.
4．等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
5．等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq.
特別地，若m＋n＝2p，
3、則am·an＝a.
(2)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．
(3)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}(p≠0，p是常數(shù))也是等比數(shù)列．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
1．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件嗎？
提示：不是．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因為當b＝0，a，c至少有一個為零時，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比數(shù)列；
4、若a，b，c成等比數(shù)列，則必有b2＝ac.[來源:]
2．若a≠0，則數(shù)列a，a2，a3，…，an，…的前n項和為Sn＝嗎？
提示：不一定．當a＝1時，Sn＝na1＝n；當a≠1時，Sn＝.
1．(2013·江西高考)等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：選A 由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比數(shù)列的前三項為－3，－6，－12.故第四項為－24.
2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5
5、＝，則公比q等于( )
A．－ B．－2 C．2 D.
解析：選D ∵a2＝2，a5＝，∴＝＝＝q3，∴q＝.
3．在等比數(shù)列{an}中，已知a7·a12＝5，則a8a9a10a11＝( )
A．10 B．25 C．50 D．75
解析：選B ∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.[來源:]
4．已知等比數(shù)列的前n項和Sn＝4n＋a，則a＝________.
解析：當n＝1時，a1＝S1＝4＋a，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝
6、(4n＋a)－(4n－1＋a)＝4n－4n－1＝3×4n－1.
又∵該數(shù)列為等比數(shù)列，∴4＋a＝3×40，即a＝－1.
答案：－1
5．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則＝________.
解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即＝－8.
∴q3＝－8，∴q＝－2.
∴＝＝＝＝－11.
答案：－11
數(shù)學思想(八)
分類討論思想在等比數(shù)列中的應用
分類討論思想在等比數(shù)列中應用較多，常見的分類討論有：
(1)已知Sn與an的關(guān)系，要分n＝1，n≥2兩種情況．
(2)等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q＝1，q≠1討論．
(3)項數(shù)的奇
7、、偶數(shù)討論．
(4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論．
[典例] (2013·天津高考)已知首項為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明Sn＋≤(n∈N*)．[來源:]
[解題指導] (1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項公式；
(2)求出前n項和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明．
[解] (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所
8、以等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)證明：Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
當n為奇數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
當n為偶數(shù)時，Sn＋隨n的增大而減小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故對于n∈N*，有Sn＋≤.
[題后悟道] 1.數(shù)列與函數(shù)有密切的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項或最小項，可以利用圖象或者數(shù)列的增減性求解，同時注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別．
2．本題易忽視對n的分類討論，導致問題無法證明或證明過程錯誤．
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a≠0)，則{an}( )
A．一定是等差數(shù)列
B．一定是等比數(shù)列
C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列
D．既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列
解析：選C ∵Sn＝an－1(a≠0)，
∴an＝
即an＝
當a＝1時，an＝0，數(shù)列{an}是一個常數(shù)列，也是等差數(shù)列；當a≠1時，數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列．
新編高考數(shù)學復習：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
