新編一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí)：第十一章 第六節(jié)　幾何概型 Word版含解析

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1、 一、填空題 1．已知地鐵列車每10 min一班(上一班車開走后10分鐘下一班車到)，在車站停 1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是________． 解析：試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為11 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為 1 min，故P(A)＝. 答案： 2．設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié)，則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率為________． 解析：當(dāng)弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角為， 設(shè)A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)半徑}，則P(A)＝＝. 答案： 3．在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為

2、________． 解析：方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓， 故 即 化簡(jiǎn)得 又a∈[1,5]，b∈[2,4]，畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，求得陰影部分的面積為，故所求的概率P＝＝. 答案： 4．在集合A＝{m|關(guān)于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0無(wú)實(shí)根}中隨機(jī)地取一元素m，恰使式子lg m 有意義的概率為________． 解析：由Δ＝m2－4(m＋1)＜0得－1＜m＜4. 即A＝{m|－1＜m＜4}． 由 lg m有意義知 m＞0， 即使lg m有意義的范圍是(0,4)， 故所求概率為 P＝＝. 答案： 5．ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2

3、，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為________． 解析：長(zhǎng)方形面積為2，以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為， 因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為÷2＝，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為1－. 答案：1－ 6．在區(qū)域M＝{(x，y)|}內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆，落在區(qū)域N＝{(x，y)|}內(nèi)的概率是________． 解析：畫出區(qū)域M、N，如圖，區(qū)域M為矩形OABC，區(qū)域N為圖中陰影部分． S陰影＝×4×2＝4， 故所求概率P＝＝. 答案： 7．如圖，有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小

4、球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤的序號(hào)是________． 解析：圖 (1)的概率為，圖(2)的概率為，圖(3)、(4)的概率都是，故選擇(1)． 答案：(1) 8．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去． 當(dāng)2

5、_____． 解析：取AD的三等分點(diǎn)E′、F′，取BC的三等分點(diǎn)E、F，連結(jié)EE′、FF′，如右圖所示．因?yàn)锳D＝3，所以可知BE＝EF＝FC＝AE′＝E′F′＝F′D＝1.又AB＝2，所以當(dāng)點(diǎn)P落在虛線段EE′上時(shí)，△ABP的面積等于1，當(dāng)點(diǎn)P落在虛線段FF′上時(shí)，△CDP的面積等于1，從而可知當(dāng)點(diǎn)P落在矩形EE′F′F內(nèi)(包括邊界)時(shí)△ABP和△CDP的面積均不小于1，故可知所求的概率為P＝＝. 答案： 二、解答題 10．已知棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O.若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為多少？ 解析：球的直徑就是正方體的棱長(zhǎng)2. ∴球O的體積V球＝π， 正方體的體

6、積為V＝23＝8. 由于在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的位置是等可能的，在正方體內(nèi)每個(gè)位置上，由幾何概型公式，這點(diǎn)不在球O內(nèi)(事件A)的概率為 P(A)＝＝＝1－. ∴所求概率為1－. 11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平面區(qū)域W中的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足，從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)． (1)若x∈Z，y∈Z，求點(diǎn)M位于第一象限的概率； (2)若x∈R，y∈R，求|OM|≤2的概率． 解析：(1)若x，y∈Z，則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)共有12個(gè)，列舉如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2

7、,2)． 當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)時(shí)，點(diǎn)M位于第一象限， 故點(diǎn)M位于第一象限的概率為. (2)如圖： 若x，y∈R，則區(qū)域W的面積是3×2＝6. 滿足|OM|≤2的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? {(x，y)|－1≤x≤2，0≤y≤2，x2＋y2≤4}，即圖中的陰影部分．易知E(－1，)，∠EOA＝60°， 所以扇形BOE的面積是，△EAO的面積是. 所以|OM|≤2的概率為＝π＋. 12．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M. (1)設(shè)集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x，從集合Q中隨

8、機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y，求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率； (2)設(shè)x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點(diǎn)M落在不等式組： 所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率． 解析：(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A. ∵組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個(gè)：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型， 其中事件A包含的基本事件共2個(gè)：i,2i， ∴所求事件的概率為P(A)＝＝. (2)依條件可知，點(diǎn)M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi)，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖 形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12. 而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)? ， 其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)． 又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A(3,0)、D(0，)， ∴三角形OAD的面積為S1＝×3×＝. ∴所求事件的概率為P＝＝＝.