新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案 理

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):62084307 上傳時(shí)間:2022-03-14 格式:DOC 頁(yè)數(shù):12 大?。?78KB
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1、 第六十五課時(shí) 離散型隨機(jī)變量及其分布列 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.會(huì)求與現(xiàn)實(shí)生活有密切關(guān)系的離散型隨機(jī)變量的分布列; 2.掌握二點(diǎn)分布與超幾何分布的特點(diǎn),并會(huì)應(yīng)用. 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1. 離散型隨機(jī)變量 如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能 出來(lái),則稱X為離散型隨機(jī)變量. 2. 離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì) (1)離散型隨機(jī)變量的分布列: 若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率為p1,p2,…,pn,則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p

2、2 … pi … pn 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列. (2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì): ①pi 0 , (i=1,2,3,…,n);②p1+p2+…+pn= ; ③P(xi≤x≤xj)=pi+pi+1+…+pj. 3. 常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)二點(diǎn)分布: 如果隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,當(dāng)X=m時(shí)的概率為P(X=m)= (0≤m≤l,l為n和M中較小的一個(gè)),稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布,也稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布. 預(yù)習(xí)自測(cè) 1. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下:則p=________. X 1 2 3 4 P p 2. 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為0.3,則一次投籃時(shí)投中次數(shù)X的分布列是________. 3. 在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球,從中隨機(jī)取一球,記下它的顏色,然后放回,再取一球,又記下它的顏色,寫(xiě)出這兩次取出白球數(shù)η的分

4、布列為_(kāi)____________. 4. 已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,…,則P(2

5、 【變式1】 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2-c 3-8c 則常數(shù)c=________,P(X=1)=________. 考點(diǎn)2 離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用 【典例2】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元,而1件次品虧損2萬(wàn)元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)為ξ. (1)求ξ的分布列; (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即ξ的均值); 【變式2】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 日銷售量(件

6、) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存量少于2件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件,否則不進(jìn)貨,將頻率視為概率. (1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率; (2)記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù),求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn)3 超幾何分步 【典例3】一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球的概率是. (1)求白球的個(gè)數(shù); (2)從袋中任意摸出3個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列. 【變式3】20

7、xx年10月1日,為慶祝中華人民共和國(guó)成立64周年,來(lái)自北京大學(xué)和清華大學(xué)的6名大學(xué)生志愿者被隨機(jī)平均分配到天安門(mén)廣場(chǎng)運(yùn)送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù),且運(yùn)送礦泉水崗位至少有1名北京大學(xué)志愿者的概率是. (1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率; (2)設(shè)隨機(jī)變量ξ為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù),求ξ的分布列. 當(dāng)堂檢測(cè) 1.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為 X -1 0 1 P 1-2q q2 則q等于 (  ) A.1 B.1± C.1- D.1+ 2. 某射

8、手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為 (  ) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 3. 設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(X=0)等于 (  ) A.0 B. C. D. 4. 在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊,用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的

9、村莊數(shù),下列概率中等于的是 (  ) A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 5. 設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n=______. 課后拓展案 A組全員必做題 1. 隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則P的值為 (  ) A. B. C. D. 2. 袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后,若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中,直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為ξ,則表示

10、“放回5個(gè)紅球”事件的是(  ) A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示: X 0 1 2 P a F(x)=P(X≤x),則當(dāng)x的取值范圍是[1,2)時(shí),F(xiàn)(x)等于 (  ) A. B. C. D. 4. 已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=,k=1,2,3,…,n,則P(2<ξ≤5)=________. 5. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X-3|=1)=________. 6.已知隨機(jī)變量ξ

11、只能取三個(gè)值:x1,x2,x3,其概率依次成等差數(shù)列,則公差d的取值范圍是________. 7.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球,設(shè)其中有X個(gè)紅球,則隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 0 1 2 P 8.從一批含有13件正品與2件次品的產(chǎn)品中,不放回地任取3件,求取得次品數(shù)的分布列. B組提高選做題 1. 如圖所示,A、B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián),它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過(guò)的最 大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通 過(guò)的最大信息總量為ξ,則P(ξ≥8)=_______. 2.某地區(qū)對(duì)12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查.

12、瞬時(shí)記憶能力包括聽(tīng)覺(jué)記憶能力與視覺(jué)記憶能力.某班學(xué)生共有40人,下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果.例如表中聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等,且視覺(jué)記憶能力偏高的學(xué)生為3人. 視覺(jué) 聽(tīng)覺(jué) 視覺(jué)記憶能力 偏低 中等 偏高 超常 聽(tīng)覺(jué)記憶能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,視覺(jué)記憶能力恰為中等,且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的概率為. (1)試確定a,b的值; (2)從40人中任意抽取3人,求其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力

13、或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率; (3)從40人中任意抽取3人,設(shè)具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列. 參考答案 預(yù)習(xí)自測(cè) 1.【答案】  【解析】 由分布列的性質(zhì)知:所有概率之和為1,所以p=. 2. 【答案】  X 0 1 P 0.7 0.3 3. 【答案】  η 0 1 2 P 【解析】 η的所有可能值為0,1,2. P(η=0)==,P(η=1)==,P(η=2)==. ∴η的分布列為 η 0 1 2 P 4.【答案】 A 【解析】 P(2

14、4)=P(X=3)+P(X=4)=+=. 5. 【答案】 D 【解析】 ∵a,b,c成等差數(shù)列,∴2b=a+c. 又a+b+c=1,∴b=,∴P(|X|=1)=a+c=. 典型例題 【典例1】【答案】   【解析】隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 1 P a 2a 3a 4a 5a 由a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=. P=P+P+P(ξ=1) =3a+4a+5a=12a= . 【變式1】【答案】   【解析】 由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知: ,解得c=. P(X=1)=3-8×=. 【典例2】【解析】 (1)由于1件產(chǎn)品的利潤(rùn)

15、為ξ,則ξ的所有可能取值為6,2,1,-2,由題意知P(ξ=6)==0.63,P(ξ=2)==0.25,P(ξ=1)==0.1,P(ξ=-2)==0.02. 故ξ的分布列為 ξ 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(萬(wàn)元). 【變式2】【解析】 (1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)=P(當(dāng)天商品銷售量為0件)+P(當(dāng)天商品銷售量為1件)=+=. (2)由題意知,X的可能取值為2,3. P(X=2)=P(當(dāng)天商品銷售量為1件)==; P(X=3)=

16、P(當(dāng)天商品銷售量為0件)+P(當(dāng)天商品銷售量為2件)+P(當(dāng)天商品銷售量為3件)=++=. 所以X的概率分布列為 X 2 3 P 故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=2×+3×=. 【典例3】【解析】 (1)記“從袋中任意摸出2個(gè)球,至少得到1個(gè)白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x,則P(A)=1-=, 得到x=5.故白球有5個(gè). (2)X服從超幾何分布,其中N=10,M=5,n=3, 其中P(X=k)=,k=0,1,2,3. 于是可得其分布列為 X 0 1 2 3 P 【變式3】【解析】(1)記“至少有1名北京大學(xué)志愿者被分

17、到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A,則事件A的對(duì)立事件為“沒(méi)有北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”,設(shè)有北京大學(xué)志愿者x名,1≤x<6,那么P(A)=1-=,解得x=2,即來(lái)自北京大學(xué)的志愿者有2名,來(lái)自清華大學(xué)的志愿者有4名. 記“打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名”為事件B,則P(B)==, 所以打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率是. (2)在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)ξ服從超幾何分布, 其中N=6,M=2,n=2,于是 P(ξ=k)=,k=0,1,2, ∴P(ξ=0)==, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==. 所以ξ的分布列為

18、 ξ 0 1 2 P 當(dāng)堂檢測(cè) 1.【答案】 C 【解析】 由分布列的性質(zhì)得: ,∴q=1-.故選C. 2.【答案】C 【解析】P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 3.【答案】 C 4.【答案】 C 【解析】X服從超幾何分布P(X=k)=,故k=4. 5.【答案】 10 【解析】 由于隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3,…,n.所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為. ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3, ∴n=10. A組全員必做題 1.【答案】 D 【

19、解析】 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), ∴+++=1,∴a=, ∴P=P(X=1)+P(X=2)=×+×=. 2.【答案】C 【解析】“放回5個(gè)紅球”表示前5次摸到黑球,第6次摸到紅球,故ξ=6. 3. 【答案】D 【解析】∵a++=1,∴a=,∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=+=. 4.【答案】 【解析】P(2<ξ≤5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5) =++=. 5.【答案】 【解析】由+m++=1,解得m=, P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=. 6.【答案】  【解析】設(shè)ξ取x1,x2,x3時(shí)的概率分別為

20、a-d,a,a+d, 則(a-d)+a+(a+d)=1,∴a=, 由得-≤d≤. 7.【答案】0.1 0.6 0.3 【解析】 P(X=0)==0.1,P(X=1)===0.6,P(X=2)==0.3. 8.【解析】設(shè)隨機(jī)變量ξ表示取出次品的個(gè)數(shù),則ξ服從超幾何分布,它的可能取值為0,1,2,其相應(yīng)的概率為 P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P B組提高選做題 1. 【答案】  【解析】 方法一 由已知,ξ的取值為7,8,9,10, ∵P(ξ=7)==,P(ξ=8)==, P(ξ=

21、9)==, P(ξ=10)==, ∴ξ的分布列為 ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10) =++=. 方法二 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-=. 2.【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)可知,視覺(jué)記憶能力恰為中等,且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10+a)人.記“視覺(jué)記憶能力恰為中等,且聽(tīng)覺(jué)記憶能力為中等或中等以上”為事件A, 則P(A)==,解得a=6. 所以b=40-(32+a)=40-38=2. 答 a的值為6,b的值為2. (2)由表格數(shù)據(jù)可知,具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生共有

22、8人. 方法一 記“至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件B,則“沒(méi)有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件, 所以P(B)=1-P()=1-=1-=. 答 從這40人中任意抽取3人,其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率為. 方法二 記“至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生”為事件B, 所以P(B)==. 答 從這40人中任意抽取3人,其中至少有一位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力超常的學(xué)生的概率為. (3)由于從40位學(xué)生中任意抽取3人的結(jié)果數(shù)為C,其中具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人,從40位學(xué)生中任意抽取3人,其中恰有k位具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為CC, 所以從40位學(xué)生中任意抽取3人,其中恰有k人具有聽(tīng)覺(jué)記憶能力或視覺(jué)記憶能力偏高或超常的概率為 P(ξ=k)=(k=0,1,2,3), ξ的可能取值為0,1,2,3, 因?yàn)镻(ξ=0)==, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P

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