高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第二講 三 直線的參數(shù)方程 Word版含答案

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1、 三直線的參數(shù)方程 　　　　　　　　　　　　 1．直線的參數(shù)方程 (1)過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)為(t為參數(shù)) (2)由α為直線的傾斜角知α∈[0，π)時(shí)，sin α≥0. 2．直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義 參數(shù)t的絕對(duì)值表示參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離． (1)當(dāng)M0M―→與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取正數(shù)． (2)當(dāng)M0M―→與e反向時(shí)，t取負(fù)數(shù)，當(dāng)M與M0重合時(shí)，t＝0. 　　　　　　　　　　 　　 直線的參數(shù)方程 [例1]　已知直線l的方程

2、為3x－4y＋1＝0，點(diǎn)P(1,1)在直線l上，寫出直線l的參數(shù)方程，并求點(diǎn)P到點(diǎn)M(5,4)的距離． [思路點(diǎn)撥]　由直線參數(shù)方程的概念，先求其斜率，進(jìn)而由斜率求出傾斜角的正、余弦值，從而得到直線參數(shù)方程． [解]　由直線方程3x－4y＋1＝0可知，直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為α， 則tan α＝，sin α＝，cos α＝. 又點(diǎn)P(1,1)在直線l上， 所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 因?yàn)?×5－4×4＋1＝0，所以點(diǎn)M在直線l上． 由1＋t＝5，得t＝5，即點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離為5. 理解并掌握直線參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，弄清參數(shù)t的幾何意義，即直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的

3、距離等于參數(shù)t的絕對(duì)值是解決此類問題的關(guān)鍵． 1．設(shè)直線l過點(diǎn)A(2，－4)，傾斜角為，則直線l的參數(shù)方程為________________． 解析：直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))． 答案：(t為參數(shù)) 2．一直線過P0(3,4)，傾斜角α＝，求此直線與直線3x＋2y＝6的交點(diǎn)M與P0之間的距離． 解：設(shè)直線的參數(shù)方程為 將它代入已知直線3x＋2y－6＝0， 得3(3＋t)＋2(4＋t)＝6. 解得t＝－， ∴|MP0|＝|t|＝. 直線參數(shù)方程的應(yīng)用 [例2]　已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)，傾斜角α＝， (1)寫出直線l的參數(shù)方程．

4、(2)設(shè)l與圓x2＋y2＝4相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積． [思路點(diǎn)撥]　(1)由直線參數(shù)方程的概念可直接寫出方程；(2)充分利用參數(shù)幾何意義求解． [解]　(1)∵直線l過點(diǎn)P(1,1)，傾斜角為， ∴直線的參數(shù)方程為 即為所求． (2)因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 A(1＋t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)， 以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0，① 因?yàn)閠1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.

5、 求解直線與圓或圓錐曲線有關(guān)的弦長時(shí)，不必求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義即可求得結(jié)果，與常規(guī)方法相比較，較為簡捷． 3．直線l通過P0(－4,0)，傾斜角α＝，l與圓x2＋y2＝7相交于A、B兩點(diǎn)． (1)求弦長|AB|； (2)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)． 解：∵直線l通過P0(－4,0)，傾斜角α＝， ∴可設(shè)直線l的參數(shù)方程為 代入圓方程，得(－4＋t)2＋(t)2＝7. 整理得t2－4t＋9＝0. 設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別t1和t2， 由根與系數(shù)的關(guān)系得t1＋t2＝4，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2. 解得t1＝3，t2＝，代

6、入直線參數(shù)方程 得A點(diǎn)坐標(biāo)(，)，B點(diǎn)坐標(biāo)(－，)． 4.如圖所示，已知直線l過點(diǎn)P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求： (1)P，M間的距離|PM|； (2)點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：(1)由題意，知直線l過點(diǎn)P(2,0)，斜率為， 設(shè)直線l的傾斜角為α，則tan α＝， cos α＝，sin α＝， ∴直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 (t為參數(shù))．　* ∵直線l和拋物線相交， ∴將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝2x中， 整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為t1，

7、t2， 由根與系數(shù)的關(guān)系得t1＋t2＝，t1t2＝－. 由M為線段AB的中點(diǎn)， 根據(jù)t的幾何意義，得|PM| ＝＝. (2)因?yàn)橹悬c(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為tM＝， 將此值代入直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(*)， 得即M. 　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．直線的參數(shù)方程為M0(－1,2)和M(x，y)是該直線上的定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，則t的幾何意義是(　　) A．有向線段M0M的數(shù)量 B．有向線段MM0的數(shù)量 C．|M0M| D．以上都不是 解析：參數(shù)方程可化為 答案：B 2．曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是(　　) A．線段　　　　　　　　 B．雙曲線

8、的一支 C．圓 D．射線 解析：由y＝t2－1得y＋1＝t2，代入x＝3t2＋2， 得x－3y－5＝0(x≥2)．故選D. 答案：D 3．直線(t為參數(shù))上對(duì)應(yīng)t＝0，t＝1兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B. C．10 D．2 解析：因?yàn)轭}目所給方程不是參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有幾何意義，故不能直接由1－0＝1來得距離，應(yīng)將t＝0，t＝1分別代入方程得到兩點(diǎn)坐標(biāo)(2，－1)和(5,0)，由兩點(diǎn)間距離公式來求出距離，即＝. 答案：B 4．若直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切，那么直線傾斜角α為(　　) A. B. C. D.或

9、 解析：直線化為＝tan α，即y＝tan α·x， 圓方程化為(x－4)2＋y2＝4， ∴由＝2?tan2α＝， ∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或. 答案：D 二、填空題 5．直線(t為參數(shù))上到點(diǎn)M(2，－3)的距離為且在點(diǎn)M下方的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 解析：把參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為把－t看作參數(shù)，所求的點(diǎn)在M(2，－3)的下方，所以取－t＝－，即t＝，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，－4)． 答案：(3，－4) 6．若直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則直線l的斜率為______． 解析：由參數(shù)方程可知，cos θ＝－，sin θ＝.(θ為傾斜角)．

10、 ∴tan θ＝－，即為直線斜率． 答案：－ 7．已知直線l1：(t為參數(shù))，l2：(s為參數(shù))，若l1∥l2，則k＝____________；若l1⊥l2，則k＝________. 解析：將l1，l2的方程化為普通方程，得 l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0， l1∥l2?＝≠?k＝4. l1⊥l2?(－2)·(－)＝－1?k＝－1. 答案：4?。? 三、解答題 8．設(shè)直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求直線的普通方程； (2)將參數(shù)方程的一般形式化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式． 解：(1)把t＝代入y的表達(dá)式 得y＝10－， 化簡得4x＋3y－5

11、0＝0， 所以直線的普通方程為4x＋3y－50＝0. (2)把參數(shù)方程變形為 令t′＝－5t，即有(t′為參數(shù))為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式． 9．已知斜率為1的直線l過橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長度． 解：因?yàn)橹本€l的斜率為1，所以直線l的傾斜角為. 橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)為(，0)，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入橢圓方程＋y2＝1，得＋2＝1， 整理，得5t2＋2t－2＝0. 設(shè)方程的兩實(shí)根分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－，t1·t2＝－， |t1－t2|＝ ＝ ＝， 所以弦AB的長為. 10．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(3,5)，傾斜角為. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)曲線C：(x－1)2＋(y－2)2＝16， 直線l：(t為參數(shù))． (2)將直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0， 設(shè)t1，t2是方程的兩個(gè)根，則t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.　 最新精品資料