2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.3《數(shù)學(xué)歸納法》word教案5篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.3《數(shù)學(xué)歸納法》word教案5篇 一、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能：（1）體會歸納推理這種基本的分析問題法，并把它們用于對問題的發(fā)現(xiàn)中去。 （2）明確歸納推理的一般步驟，并把這些方法用于實際問題的解決中去。 過程與方法： （1）通過歌德巴赫猜想引入課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極 （2）通過師生合作做實驗的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性； （3）通過生活中的實例，讓學(xué)生體會歸納推理的思想方法。 情感態(tài)度與價值觀： 正確認(rèn)識歸納推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。 二、教學(xué)重點：理解歸納推理的思維過程與一般形式。 三、教學(xué)難點：運用歸納推理得到一般性的結(jié)論。 四、教學(xué)方法與手段：多媒體演示，互動實驗。 五、教學(xué)過程： 情景一：歌德巴赫猜想 問題1：同學(xué)們，你們有沒有聽說過一個世紀(jì)難題，歌德巴赫猜想，簡稱“1+1”？ ____________________________________________ 問題2：你們知道這個歌德巴赫猜想的具體內(nèi)容嗎 ____________________________________________ 問題3：你們想不想知道歌德巴赫是怎樣提出這個猜想的？ 1742年，歌德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)： 4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，…… 由此，他猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)之和（簡稱“1+1”），可是他既證明不了這個猜想，也否定不了這個猜想。于是，歌德巴赫寫信給當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉在給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。 從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。目前最佳的結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證明的“每一個充分大的偶數(shù)都能夠表示為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和”（簡稱“1+2”），這一結(jié)論十分接近歌德巴赫猜想的解，被國際上稱為“陳氏定理”。 情景二：多面體的歐拉公式 雖然，歌德巴赫的猜想還不能證明，但他的這種猜想方法在定理發(fā)現(xiàn)中很有用。大數(shù)學(xué)家歐拉，也是通過觀察一些簡單的多面體，然后發(fā)現(xiàn)多面體的歐拉公式的。 下面請同學(xué)們數(shù)一數(shù)下列圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E，然后一起把表格填完整。 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱錐 四棱錐 三棱柱 五棱錐 立方體 正八面體 五棱柱 截角正方體 尖頂塔 問題4：歐拉從中發(fā)現(xiàn)了公式，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？ ____________________________________ 情景三：生活中的猜想 人們發(fā)現(xiàn)，只要有一年冬季下了大雪，那么第二年莊稼就會獲得豐收，而沒有發(fā)現(xiàn)相反情況，于是，人們作出了一個猜想：“瑞雪兆豐年”。 這樣的猜想生活中還有很多，例如每次下大雨之前，都有螞蟻搬家的現(xiàn)象，于是，我們就據(jù)此作出一個猜想：“凡螞蟻搬家，天必下雨” 問題5：在上面幾個例子中，大家有沒有發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點？ 它們都是從個別事實中推演出一般的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理，簡稱歸納法。 歸納推理的思維過程大致如下： 猜測一般性的結(jié)論 概括、推廣 實驗、觀察 歸納推理的一般模式為： S1具有P， S2具有P， …… Sn具有P（S1，S2，……，Sn是A類事實的對象） 所以，A類事物都具有P。 互動實驗： 道具：兩袋玻璃棋子（其中一袋都是黑的；一袋中除一個黑的外其余都是白的） 過程：請兩個學(xué)生上臺摸袋中的棋子，一次摸一個，摸了三次后，請他們作出一個歸納推理。 目的：說明歸納推理得到的結(jié)論不都是正確的。 問題6：為什么上面的實驗可能會得到不正確的結(jié)論？ 因為沒有全部摸出來，只檢查了幾個，就得出結(jié)論了。 像這樣只從幾個個別事例就推出結(jié)論的歸納法稱為不完全歸納法； 如果把全部情況都列舉出來的歸納法稱為完全歸納法。 完全歸納法考察的是某類事物的全部對象，所以它的結(jié)論一定是正確的。但它的運用是有局限性的。如果某類事物的個別對象是無限的(如天體、原子)或者事實上是無法一一考察窮盡的，它就不能適用了。這時就只能運用不完全歸納推理了。例如檢查一個大型生產(chǎn)廠的產(chǎn)品合格率。 課堂研學(xué)：“漢諾塔”問題 如圖有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上。 ①、每次只能移動1個金屬片；②、較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面。試推測：把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次? 2 3 1 課堂練習(xí)： （1）已知數(shù)列的通項公式，記，試通過計算的值，推測出的值。 （2）已知：，。觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并證明之。 課堂總結(jié)： 問題7：通過以上學(xué)習(xí)，歸納推理具有什么特點？ （1）歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。 （2）由歸納得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗。因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。 （3）歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。 數(shù)學(xué)歸納法(1) 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法 3．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 二、教學(xué)重點：掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問題的方法。 難點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 三、教學(xué)過程： 【創(chuàng)設(shè)情境】 1．華羅庚的“摸球?qū)嶒灐薄? 2．“多米諾骨牌實驗”。 問題：如何保證所摸的球都是紅球？多米諾骨牌全部倒下？處了利用完全歸納法全部枚舉之外，是否還有其它方法？ 數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法實際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)問題的有力工具。 【探索研究】 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)： 無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系） 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理： （1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確； （2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 【例題評析】 例1：以知數(shù)列{an}的公差為d，求證： 說明：①歸納證明時，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。 ②數(shù)學(xué)歸納法證明的基本形式； （1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確； （2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,3 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 　　　　　　 例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明(n∈N,n≥2) 說明：注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。 EX:1.用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時,左邊有_____項,右邊有_____項； (2)當(dāng)n=k時,左邊有_____項,右邊有_____項； (3)當(dāng)n=k+1時,左邊有_____項,右邊有_____項； (4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同? 變題: 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n∈N+) 例3：設(shè)f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 說明：注意分析f(k)和f(k+1)的關(guān)系。 【課堂小結(jié) 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法公理： （1）（遞推奠基）：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確； （2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 2. 注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。利用歸納假設(shè)創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系. 【反饋練習(xí)】 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項數(shù)是( ) A. B C D 3．若n為大于1的自然數(shù)，求證 證明 (1)當(dāng)n=2時， (2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測》 數(shù)學(xué)歸納法(2) 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題 二、教學(xué)重點：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 難點：歸納→猜想→證明。 三、教學(xué)過程： 【創(chuàng)設(shè)情境】 問題1：數(shù)學(xué)歸納法的基本思想？ 以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮歸納（完全歸納）的過程，轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程。（遞推關(guān)系） 問題2：數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟？ （1）遞推奠基：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確； （2）遞推歸納：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)） 證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項及前n項和等問題。 【探索研究】 問題：用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。 法一：配湊遞推假設(shè)： 法二：計算f(k+1)-f(k)，避免配湊。 說明：①歸納證明時，利用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件，是解題的關(guān)鍵。 ②注意從“n=k到n=k+1”時項的變化。 【例題評析】 例1：求證: 能被整除（n∈N+）。 例2：數(shù)列{an}中，,a1=1且 （1）求的值； （2）猜想{an}的通項公式，并證明你的猜想。 說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的常用方法：歸納→猜想→證明 變題：（2002全國理科）設(shè)數(shù)列{an}滿足，n∈N+, (1)當(dāng)a1=2時，求，并猜想{an}的一個通項公式； （2）當(dāng)a1≥3時，證明對所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ② 例3：平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點，問：這n條直線將平面分成多少部分？ 變題：平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交與兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2+n+2個部分。 例4：設(shè)函數(shù)f(x)是滿足不等式,(k∈N+)的自然數(shù)x的個數(shù)； （１）求f(x)的解析式； （２）記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式； （３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),試比較Ｓn與Ｐn的大小。 【課堂小結(jié)】 1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結(jié)合 數(shù)學(xué)歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法： 歸納→猜想→證明。 2.兩個注意： （1）是否用了歸納假設(shè)？ （2）從n=k到n=k+1時關(guān)注項的變化？ 【反饋練習(xí)】 1 觀察下列式子 …則可歸納出____ (n∈N*) 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明 2．已知數(shù)列計算根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 3.是否存在常數(shù)a、b、c，使等式 對一切都成立？并證明你的結(jié)論. 【課外作業(yè)】 《課標(biāo)檢測》 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 　　數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，常常以觀察、試驗、類比、聯(lián)想、歸納提出合理的科學(xué)猜想，通過數(shù)學(xué)歸納法的證明可以保證猜想的合理性與正確性．廣泛的用來證明等式、不等式、整除性問題等與自然數(shù)有關(guān)的命題．下面舉例說明數(shù)學(xué)歸納法的幾種應(yīng)用． 　　一、等式問題 　　例1　已知，求證：． 　　證明：（1）當(dāng)時，等式左邊，右邊，等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時，命題成立．即 　?。? 　　則當(dāng)時， 　　 。 　　∴當(dāng)時，等式成立． 　　綜上，由（1）和（2）可知，對于任何，等式成立． 　　評注：本題在證明過程中突出了一個湊字，即“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時證明的目標(biāo)，充分考慮由到時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系． 　　二、不等式問題 　　例2　求證：． 　　證明：（1）當(dāng)n=2時，左邊，不等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即． 　　則當(dāng)時， 　　 ， 　　所以當(dāng)時不等式也成立． 　　由（1）和（2）可知，原不等式對一切，均成立． 　　評注：本題在由到時的推證過程中應(yīng)用了“放縮”的技巧，使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一． 　　三、整除性問題 　　例3　利用數(shù)學(xué)歸納法證明能被9整除． 　　證明：（1）當(dāng)n=1時，（31＋1）７1－1＝2７，能被9整除，所以命題成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即能被9整除． 　　那么當(dāng)時， 　　 ． 　　由歸納假設(shè)知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除． 　　這就是說，當(dāng)時，命題也成立 　　由（1）和（2）可知，對一切，都能被9整除． 評注：涉及整除問題，常利用提取公因式湊成假設(shè)、湊出整除式等方法，其中等價變換的技巧性較強． 歸納 猜想 證明 　　“歸納——猜想——證明”是一種重要的思維模式，也是數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的重點題型．解這類問題，需從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．其中解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，下面舉例說明． 　　例1　是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式對一切成立？并證明你的結(jié)論 　　分析：可先進(jìn)行計算，找到a、b、c的值，再歸納猜想，最后證明． 　　解：假設(shè)存在常數(shù)a、b、c使上式對均成立， 　　則當(dāng)時上式顯然也成立，此時可得 　　， 　　解此方程組，可得． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對一切均成立． 　　當(dāng)時，命題顯然成立． 　　假設(shè)時，命題成立． 　　即， 　　那么當(dāng)時， 　　 ． 　　即當(dāng)時，命題成立． 　　綜上所述，存在常數(shù)， 使得等式對一切均成立． 　　例2　數(shù)列滿足，前n項和，求數(shù)列的通項公式． 　　分析：該題未給出猜想信息，可先創(chuàng)造條件得出結(jié)論，再證明． 　　解：∵，∴． 　　由變形整理，得， 　　取正根，得， 　　由及，得 　　，變形整理，得， 　　取正根，得． 　　同理，求得． 　　由此猜想． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　?。?）當(dāng)時，上面已求出，結(jié)論成立． 　　（2）假設(shè)當(dāng)，時，結(jié)論成立，即． 　　那么當(dāng)時， ， 　　整理，得，取正根，得， 　　故時，結(jié)論成立． 　　由（1）和（2），可知對任何，成立． 　　例3　已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的都滿足：，若，，求證：． 　　分析：用歸納的思想方法，通過賦值、計算、猜想、證明四步完成． 　　證明：∵對任意都成立， 　　∴對于 　　當(dāng)時，； 　　當(dāng)時，； 　　當(dāng)時，； 　　…， 　　猜想．（※） 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　（1）當(dāng)時，，（※）式成立． 　?。?）假設(shè)時，（※）式成立，即， 　　當(dāng)時， ， 　　∴時，（※）式成立． 　　由（1）和（2），可知對任何，成立． 　　所以． 　　要證明結(jié)論成立，只需證明． 　　∵， 　　∴成立． 斐波那契級數(shù) 　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在這些數(shù)中，從第3項開始，每一個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)的和，例如，，等等，這就是著名的斐波那契級數(shù)． 　　斐波那契級數(shù)出現(xiàn)在意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，1174～1250）在1202年所著的《算盤書》中．書中是這樣提出問題的： 　　如果每對兔子每月能繁殖一對子兔，而子兔在出生后第二個月就有生殖能力，第三個月就生產(chǎn)一對兔子，以后每個月生產(chǎn)一對，假定每對兔子都是一雌一雄．試問一對兔子一年能繁殖多少對兔子？ 　　由這個問題得出的序列就是上面列出的序列．出人意料的是，這個序列在許多場合都出現(xiàn)．因此，我們需要對它作些探討．序列中的每一個數(shù)叫做斐波那契數(shù)．若第n個斐波那契數(shù)記為，則我們有，，，，，… 　　這個序列有下面的遞推關(guān)系 　　． 　　斐波那契數(shù)的通項公式是 　?。? 　　這個公式是法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）求出的．我們用數(shù)學(xué)歸納法證明它． 　　斐波那契級數(shù)的構(gòu)造法告訴我們，從第3項開始，它的每一項都是前兩項之和，并且只有在給定了開頭的兩項之后，整個級數(shù)才能確定．所以在使用數(shù)學(xué)歸納法證明公式①時，需要對數(shù)學(xué)歸納法的基本程序作變動： 　　（1）公式①對，這兩種情況都正確； 　?。?）假定公式①對一切都成立，證明它對也正確． 　　證明：（1）為了下面的證明，我們需要算出 　?。? 　　類似地，，③ 　　從而，． 　?。?）當(dāng)時， ． 　?。?）當(dāng)時， ． 　　這就證明了當(dāng)和時公式①是正確的． 　?。?）設(shè)n是任意自然數(shù)，并假定公式①對一切都成立，證明它對正確．根據(jù)斐波那契數(shù)的定義，我們有 　　由②③，得 　　 ， 　　原命題得證． 　　斐波那契數(shù)是大自然的一個基本模式，它出現(xiàn)在許多場合．在花的花瓣中存在斐波那契模式．幾乎所有的花，其花瓣都是斐波那契數(shù)．例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；許多翠雀屬植物有8瓣；萬壽菊的花有13瓣；紫菀屬的植物有21瓣；大多數(shù)雛菊有34、55、89瓣．在向日葵的花盤內(nèi)葵花子的螺旋模式中也可以發(fā)現(xiàn)斐波那契級數(shù)． 數(shù)學(xué)歸納法證明的幾種常用方法 　　用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，第二步是十分關(guān)鍵的步驟．怎樣才能從順利地過渡到呢？下面介紹幾種常用方法． 　　一、恰當(dāng)放縮 　　例１　已知n是大于1的自然數(shù)，，求證：． 　　分析：由已知可看到的形式很繁鎖，并且要證結(jié)論為不等式，則可聯(lián)想不等式的性質(zhì)對其適當(dāng)放縮，從而證得原命題． 　　證明：（1）當(dāng)時，，所以不等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)（，且）時，成立，則當(dāng)時，有 。 　　所以當(dāng)時原不等式也成立． 　　由（1）和（2），可知原不等式對任何大于1的自然數(shù)n都成立． 　　二、起點后移 　　例2　已知，求證：． 　　分析：可結(jié)合不等式關(guān)系：來證明，但注意要將奠基的起點后移，即在第一步證明中，不僅要證明時原不等式成立，還要證明當(dāng)時，原不等式也成立． 　　證明：（1）當(dāng)時，原不等式顯然成立 　　當(dāng)時，不等式左邊， 　　右邊，則左邊＞右邊， 　　∴當(dāng)時，原不等式成立． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時，成立， 則時， 　　 ． 　　所以當(dāng)時原不等式也成立． 　　由（1）和（2），可知原不等式對任何都成立． 　　三、增加跨度 　　例3　試證：任何一個正方形都可以分割成5個以上的任意多個正方形 　　分析：一個正方形分割成4個正方形是很容易的．由此猜想：若能把一個正方形分割成k個正方形，則必能分割成個正方形．故第一步應(yīng)對的情形加以驗證．第二步，則只需從k遞推到k+3． 　　證明：（1）當(dāng)時，由以下各圖所示的分割方法知，命題成立． 　　（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即一個正方形必能分割成k個正方形．那么，只要把其中任意一個正方形兩組對邊的中點分別連結(jié)起來，即把該正方形再分割成4個小正方形，則正方形的個數(shù)就增加了3個．因而原正方形就分割成了個正方形，即當(dāng)時命題也成立． 　　因為任何一個大于5的自然數(shù)n都可以表示成中的一種形式，所以根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何大于5的自然數(shù)n都成立． 　　四、強化命題 　　例4　已知，定義，且．試證明：對一切，都有． 　　分析：顯然有，但若假設(shè)，則很難由遞推公式推得．為此，必須知道小于什么數(shù)值才行． 　　其實，要使，即，只須．所以本題可轉(zhuǎn)化為證明如下更強的不等式 　?。? 　　證明：（1）當(dāng)時，顯然有． 　　又因為， 　　所以． 　?。?）假設(shè)當(dāng)時，成立，則有 　　 　　， 　　所以，即當(dāng)時不等式①也成立． 　　由（1）和（2），可知對任何，不等式①都成立，從而原命題獲證． 注意：除了上述四種常用方法外，還有拆項添項、作差（作商）等方法．同學(xué)們在證明過程中，要結(jié)合題目特點，靈活運用． 蘇教選修（2-2）2.3數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué) 　　一、數(shù)學(xué)歸納法的原理及其概念 　　如果（1）當(dāng)n取第一個值（例如等）時結(jié)論正確； 　　（2）假設(shè)當(dāng)（，且）時結(jié)論正確，證明當(dāng)時結(jié)論也正確； 　　那么，命題對于從開始的所有正整數(shù)n都成立． 　　這就是數(shù)學(xué)歸納法公理，它是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的依據(jù)． 　　補充說明：（1）數(shù)學(xué)歸納法適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題，常用來證明用不完全歸納得到的結(jié)論．要有強烈的數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)之間的對應(yīng)意識，做到看到有關(guān)正整數(shù)的證明問題，馬上想到是否可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明． 　?。?）“數(shù)學(xué)歸納法”與“歸納法”不同，“歸納法”是由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，而“數(shù)學(xué)歸納法”是一種有關(guān)正整數(shù)問題的證明方法．“歸納法”通常可分為完全歸納法和不完全歸納法，其中完全歸納法的結(jié)論是正確的，而不完全歸納法得出的結(jié)論則不一定正確．而用“數(shù)學(xué)歸納法”證明的結(jié)論必是正確的． 　　二、用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟及其作用 　　數(shù)學(xué)歸納法的定義即是證題的步驟，在證明過程中必須按步驟進(jìn)行．其中，第一步是奠基步驟，是論證命題成立的基礎(chǔ)保證，也稱為歸納基礎(chǔ)（又稱特殊性）；第二步是遞推步驟，是解決命題具有后繼傳遞性的保證（又稱延續(xù)性），即只要命題對于某個正整數(shù)成立，就能保證該命題對于后續(xù)正整數(shù)都成立．這兩個步驟相輔相成，缺一不可． 　　三、證明中應(yīng)注意的幾個問題 　　1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法第一步中的“第一個數(shù)”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它數(shù)，要根據(jù)題意準(zhǔn)確選擇． 　　2．注意n與k的不同，理解和書寫時不要弄混． 　　3．第二步中要準(zhǔn)確把握由到時，要證明的結(jié)論中到底需要添加（或舍去）哪些項，如用數(shù)學(xué)歸納法證明某數(shù)列問題時，當(dāng)時有，則n＝k＋1時有Ｓk+1=+++…＋+++…＋，不要弄錯． 　　4．在證明第二步命題成立時，必須使用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．在初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時常易犯不用歸納假設(shè)，而直接運用相關(guān)公式（如數(shù)列的有關(guān)公式）的錯誤，需特別注意．應(yīng)通過例題和習(xí)題體會和練習(xí)怎樣使用歸納假設(shè)，通過錯例分析體會怎樣避免不用歸納假設(shè)的情況． 　　5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵在第二步，要能真正地證明結(jié)論正確才行，切忌證不出而直接說結(jié)論成立．證明過程可以用綜合法，也可以用分析法或其它方法．為證n=k+1時結(jié)論成立，對條件和結(jié)論進(jìn)行各種各樣的恒等變形是必要的和必須的，常見變形技巧有提公因式、配方（可參閱課本）、恰當(dāng)放縮、起點后移、增加跨度、強化命題、添項拆項等（可參閱第四版文章《幫你順利“過渡”》）．另外，不妨先把時的結(jié)論寫出來，為證明提供方向． 　　6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法中的兩步缺一不可，否則結(jié)論不能成立．只有第一步，只能證明特殊情況，無法延續(xù)；只有第二步，沒有奠基，可能會推出錯誤的結(jié)論．