新版理數(shù)北師大版練習(xí)：第十章 第六節(jié)　幾何概型 Word版含解析

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1、 1

2、 1 課時作業(yè) A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練 1．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：因?yàn)閘og0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即

3、燈綠燈亮的時間為40秒，黃燈5秒，紅燈45秒．如果小明每天到路口的時間是隨機(jī)的，則小明上學(xué)時到十字路口需要等待的時間不少于20秒的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)“小明上學(xué)時到十字路口需要等待的時間不少于20秒”為事件A，則P(A)＝＝，選D. 答案：D 3．在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點(diǎn)的集合是一個中心與原正方體中心重合，且棱長為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33

4、＝27，故所求的概率P＝＝. 答案：A 4．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：由已知，點(diǎn)P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB2＝(AB)2＋AD2，解得()2＝，即＝，故選D. 答案：D 5．(20xx·武漢市調(diào)研)在長為16 cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP，NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)MP＝x，則NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60?x2－16x＋60<0，(x－

5、6)(x－10)<0?6

6、所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案：B 8.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖像上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)閒(x)＝B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝. 答案：B 9．(20xx·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(　　)

7、A. B. C. D. 解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)椋?＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝＝，故選C. 答案：C 10．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 解析：復(fù)數(shù)|z|≤1對應(yīng)的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－，故選D. 答案：D 11．(20xx·鄭州模擬)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等

8、式組表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 ． 解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為π()2＝，故所求概率P＝＝. 答案： 12．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝ . 解析：由幾何概型知＝，解得m＝3. 答案：3 13．利用計算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為 ． 解析：由題意知0≤a≤1，事件“3a－1>

9、0”發(fā)生時，a>且a≤1，取區(qū)間長度為測度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝. 答案： 14．若在區(qū)間[－4,4]內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)m，在區(qū)間[－2,3]內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)n，則使得方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的概率為 ． 解析：∵方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，總的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S＝8×5＝40，而滿足條件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}

10、，∴圖中陰影部分的面積S′＝40－π×22＝40－4π，由幾何概型的概率計算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－. 答案：1－ B組——能力提升練 1．已知A＝{(x，y)|x2＋y2≤π2}，B是曲線y＝sin x與x軸圍成的封閉區(qū)域．若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落入?yún)^(qū)域B的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：區(qū)域A表示圓及其內(nèi)部，面積為π3，正弦曲線y＝sin x與x軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積S＝2 sin xdx＝－2 cos x＝4，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機(jī)向區(qū)域A內(nèi)投一個點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在區(qū)域B內(nèi)的概率P＝，故選D. 答案：D

11、2．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．故所求概率P＝＝＝. 答案：B 3．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　) A.－　　　　　　 B. C．1－ D.

12、 解析：設(shè)OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π·()2－×()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分的面積為πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率為＝1－. 答案：C 4．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1

13、>，則p1<

14、＝1相離，則圓C的圓心到直線l的距離d＝＞1，又k∈[－1,1]，所以－1≤k<－或＜k≤1，所以事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為＝，故選C. 答案：C 7．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，動點(diǎn)P(a，b)滿足0≤·≤2， 且0≤·≤2，則動點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于的概率為(　　) A．1－ B. C．1－ D. 解析：依題意有目標(biāo)函數(shù)>表示以C為圓心，半徑為的圓外．畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內(nèi)的圓外面積為－，故概率為＝1－.故選A. 答案：A 8．已知x，y都是區(qū)間[0，]內(nèi)任取的一個實(shí)數(shù)，則使得y≤sin x的取值的概率是 (　　) A.

15、 B. C. D. 解析：事件的度量為函數(shù)y＝sin x的圖像在[0，]內(nèi)與x軸圍成的圖形的面積，即 則事件發(fā)生的概率為P＝＝，故選A. 答案：A 9．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間[0，e]內(nèi)任意輸入一個x的值，則輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B．1－ C．1＋ D. 解析：由題意得f(x)＝如圖所示，當(dāng)1e，故輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是＝1－，故選B. 答案：B 10．在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別取一個數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為(　　) A.

16、 B. C. D. 解析：∵＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于，∴a>b>0，a<2b. 它對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示： 則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為 P＝＝1－＝，故選B. 答案：B 11.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個點(diǎn)，則落入陰影部分 (曲線C的方程為x2－y＝0)的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為(　　) A．5 000 B．6 667 C．7 500 D．7 854 解析：S陰影＝S正方形－x2dx＝1－＝，所以有＝＝，解得n≈6 667，故選B. 答案：B 12．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向

17、2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測繪隊(duì)員在A，B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測繪點(diǎn)，用測繪儀進(jìn)行測繪，O地為一磁場，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ 解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長為2，而|AB|＝2，故該測繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1－＝1－，故選D. 答案：D 13．一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的地方的概率為 ．

18、 解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×12＝30，陰影部分的面積為×π×22＝2π，所以其概率為＝. 答案： 14．(20xx·南昌質(zhì)檢)在邊長為2的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，用隨機(jī)模擬方法來估計不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計值為 ． 解析：由題意，因?yàn)樵谡叫蜛BCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個， 所以概率P＝＝. ∵邊長為2的正方形ABCD的面積為4， ∴不規(guī)則

19、圖形M的面積的估計值為 ×4＝. 答案： 15．(20xx·武漢市模擬)在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)x，y，則滿足y≥x2－1的概率為 ． 解析：由題意可得，在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)x，y，對應(yīng)的區(qū)域是邊長為2的正方形，如圖，面積為4，滿足y≥x2－1的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，面積為＝ ∴滿足y≥x2－1的概率P＝＝. 答案： 16．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為 ． 解析：對于直線方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，由題意可得·||·||<，因?yàn)閙∈(0,3)，所以解得0