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1、
1
2、 1
第4節(jié) 雙曲線
課時訓練 練題感 提知能
【選題明細表】
知識點、方法
題號
雙曲線的定義
1、4、6
雙曲線的標準方程
3、5、7
雙曲線的幾何性質
2、8、9、10、16
直線與雙曲線的位置關系
11、13
綜合應用問題
12、14、15
A組
一、選擇題
1.設P是雙曲線x216
3、-y220=1上一點,F1,F2分別是雙曲線左右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于( B )
(A)1 (B)17
(C)1或17 (D)以上答案均不對
解析:由雙曲線定義||PF1|-|PF2||=8,
又|PF1|=9,
∴|PF2|=1或17,但應注意雙曲線的右頂點到右焦點距離最小為c-a=6-4=2>1,
∴|PF2|=17.
故選B.
2.(高考湖北卷)已知0<θ<π4,則雙曲線C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1與C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的( D )
(A)實軸長相等 (B)虛軸長相等
(C)離心率相等 (D)焦距相等
4、
解析:雙曲線C1的半焦距c1=sin2θ+cos2θ=1,雙曲線C2的半焦距c2=cos2θ+sin2θ=1,故選D.
3.(高考湖南卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為( A )
(A)x220-y25=1 (B)x25-y220=1
(C)x280-y220=1 (D)x220-y280=1
解析:由焦距為10,知2c=10,c=5.
將P(2,1)代入y=bax得a=2b.
a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,
所以方程為x220-y25=1.故選A.
4.已知F1、F2為雙曲線C:x
5、2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2等于( C )
(A)14 (B)35 (C)34 (D)45
解析:∵c2=2+2=4,
∴c=2,2c=|F1F2|=4,
由題可知|PF1|-|PF2|=2a=22,
|PF1|=2|PF2|,
∴|PF2|=22,|PF1|=42,
由余弦定理可知cos∠F1PF2=(42)2+(22)2-422×42×22=34.故選C.
5.設橢圓C1的離心率為513,焦點在x軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標準方程為( A )
(A)
6、x242-y232=1 (B)x2132-y252=1
(C)x232-y242=1 (D)x2132-y2122=1
解析:在橢圓C1中,因為e=513,2a=26,
即a=13,所以橢圓的焦距2c=10,
則橢圓兩焦點為(-5,0),(5,0),
根據題意,可知曲線C2為雙曲線,
根據雙曲線的定義可知,
雙曲線C2中的2a2=8,
焦距與橢圓的焦距相同,
即2c2=10,
可知b2=3,
所以雙曲線的標準方程為x242-y232=1.故選A.
二、填空題
6.(高考遼寧卷)已知F為雙曲線C:x29-y216=1的左焦點,P,Q為C上的點.若PQ的長等于虛軸長的2倍
7、,點A(5,0)在線段PQ上,則△PQF的周長為 .?
解析:由題知,雙曲線中a=3,b=4,c=5,
則|PQ|=16,
又因為|PF|-|PA|=6,
|QF|-|QA|=6,
所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,
|PF|+|QF|=28,
則△PQF的周長為44.
答案:44
7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率e=2,且它的一個頂點到較近焦點的距離為1,則雙曲線C的方程為 .?
解析:雙曲線中,頂點與較近焦點距離為c-a=1,
又e=ca=2,兩式聯立得a=1,c=2,
∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程為x2
8、-y23=1.
答案:x2-y23=1
8.(20xx韶關模擬)設點P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點,其中F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,若
tan ∠PF2F1=3,則雙曲線的離心率為 .?
解析:依題意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1=|PF1||PF2|=3,|PF1|=3|PF2|,設|PF1|=k,
則|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,
又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,
∴e=ca=102,即雙曲線的離心率為102.
9、
答案:102
9.(高考湖南卷)設F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為 .?
解析:設點P在雙曲線右支上,
由題意,在Rt△F1PF2中,
|F1F2|=2c,
∠PF1F2=30°,
得|PF2|=c,|PF1|=3c,
|PF1|-|PF2|=2a,(3-1)c=2a,
e=ca=23-1=3+1.
答案:3+1
10.設F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|
10、,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為 .?
解析:如圖,由題意得
|PF2|=|F1F2|=2c,
|F2M|=2a.
在△PF2M中,
|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,
而|PM|=12|PF1|,
又∵|PF1|-|PF2|=2a,
∴|PF1|=2a+2c,
即|PM|=a+c.
∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.
又c2=a2+b2,
∴ba=43,
漸近線方程為y=±43x,
即4x±3y=0.
答案:4x±3y=0
三、解答題
11.已知雙曲線x2-y22=1,過點P(1,1)能否
11、作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點?
解:法一 設點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,
且線段AB的中點為(x0,y0),
若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意.
設經過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1),
即y=kx+1-k.
由y=kx+1-k,x2-y22=1,
得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①
∴x0=x1+x22=k(1-k)2-k2.
由題意,得k(1-k)2-k2=1,
解得k=2.
當k=2時,方程①成為2x2-4x+3=0.
Δ=16-24=-8<0,方程①沒有實
12、數解.
∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,且點P(1,1)是線段AB的中點.
法二 設A(x1,y1),B(x2,y2),
若直線l的斜率不存在,
即x1=x2不符合題意,
所以由題得x12-y122=1,
x22-y222=1,
兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)2=0,
即2-y1-y2x1-x2=0,
即直線l斜率k=2,
得直線l方程y-1=2(x-1),
即y=2x-1,
聯立y=2x-1,x2-y22=1
得2x2-4x+3=0,
Δ=16-24=-8<0,
即直線y=2x-1與雙曲線無交點,即所求直線不合題意
13、,
所以過點P(1,1)的直線l不存在.
12.(20xx南京質檢)中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F2,且|F1F2|=213,橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線方程;
(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值.
解:(1)由已知c=13,
設橢圓長、短半軸長分別為a、b,
雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n,
則a-m=4,7·13a=3·13m,
解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.
∴橢圓方程為x249+y236=1,
雙曲線方程為x29-y24=1.
(2)不妨設F1、F
14、2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點,
則|PF1|+|PF2|=14,
|PF1|-|PF2|=6,
∴|PF1|=10,|PF2|=4.
又|F1F2|=213,
∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|
=102+42-(213)22×10×4
=45.
13.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(b>a>0),O為坐標原點,離心率e=2,點M(5,3)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且OP→·OQ→=0.求1|OP|2+1|OQ|2的值.
解:(1)∵e=2,∴c=2a,b
15、2=c2-a2=3a2,
雙曲線方程為x2a2-y23a2=1,即3x2-y2=3a2.
∵點M(5,3)在雙曲線上,
∴15-3=3a2.∴a2=4.
∴所求雙曲線的方程為x24-y212=1.
(2)設直線OP的方程為y=kx(k≠0),
聯立x24-y212=1,得x2=123-k2,y2=12k23-k2,
∴|OP|2=x2+y2=12(k2+1)3-k2.
則OQ的方程為y=-1kx,
有|OQ|2=12(1+1k2)3-1k2=12(k2+1)3k2-1,
∴1|OP|2+1|OQ|2=3-k2+(3k2-1)12(k2+1)=2+2k212(k2+1)=16
16、.
B組
14.已知點P在曲線C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是( C )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
解析:依題意知P在曲線C1的左支上時|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1,
則|PQ|-|PR|的最大值是
|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.
故選C.
15.從雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線,切點
17、為T,延長FT交雙曲線右支于點P,若M為線段FP的中點,O為坐標原點,則|MO|-|MT|與b-a的大小關系為( B )
(A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a
(C)|MO|-|MT|0)的右支上,雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍是 .?
解析:由雙曲線的定義得
|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,
所以4|PF2|-|PF2|=2a,
所以|PF2|=23a,|PF1|=83a,
所以83a≥c+a,23a≥c-a,整理得53a≥c,
所以ca≤53,即e≤53,又e>1,所以1
新版高三數學復習 第4節(jié) 雙曲線
