中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編 四邊形綜合

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1、四邊形綜合 1、（2013?湘西州）下列說法中，正確的是（　?。? 　 A． 同位角相等 B． 對角線相等的四邊形是平行四邊形 　 C． 四條邊相等的四邊形是菱形 D． 矩形的對角線一定互相垂直 考點(diǎn)： 菱形的判定；同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷A即可；根據(jù)平行四邊形的判定判斷B即可；根據(jù)菱形的判定判斷C即可；根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷D即可． 解答： 解：A、如果兩直線平行，同位角才相等，故本選項(xiàng)錯誤； B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯誤； C、四邊相等的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確；

2、D、矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項(xiàng)錯誤； 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形、菱形的判定、矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力． 2、（2013陜西）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，則四邊形ABCD的面積為 .（結(jié)果保留根號） A B D C O H G 第14題圖文并茂 考點(diǎn)：三角形面積的求法及特殊角的應(yīng)用。 解析：BD平分AC，所以O(shè)A=OC=3，因?yàn)椤螧OC=120°， 所以∠DOC=∠A0B=60°，過C作C

3、H⊥BD于H， 過A作AG⊥BD于G，在△CHO中，∠C0H=60°， OC=3，所以CH=，同理：AG=， 所以四邊形ABCD的面積=。 3、(2013河南省)如圖，在等邊三角形中，,射線，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 （1）連接，當(dāng)經(jīng)過邊的中點(diǎn)時，求證： 證明：∵ ∴ ∵是邊的中點(diǎn) ∴ 又∵ ∴ （2）填空： ①當(dāng)為 s時，四邊形是菱形； ②當(dāng)為 s時，以為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形。 【解析】①∵當(dāng)四邊形是菱形時，∴

4、 由題意可知：，∴ ②若四邊形是直角梯形，此時 過作于M，，可以得到， 即，∴， 此時，重合，不符合題意，舍去。 若四邊形若四邊形是直角梯形，此時， ∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點(diǎn)， ∴，得到 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。 【答案】① ② 4、（2013? 德州）（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（

5、尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）； （2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由； （3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題： 如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長． 考點(diǎn)： 四邊形綜合題． 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形

6、，得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證； （2）BE=CD，理由與（1）同理； （3）根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗(yàn)，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長． 解答： 解：（1）完成圖形，如圖所示： 證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠E

7、AB， ∵在△CAD和△EAB中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （2）BE=CD，理由同（1）， ∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD和△EAB中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗(yàn)可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°， 則AD=AB=100米，∠ABD=45°， ∴BD=100米， 連接CD，則由（2）可得BE=CD， ∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，

8、在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米， 根據(jù)勾股定理得：CD==100米， 則BE=CD=100米． 點(diǎn)評： 此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 5、（2013?紹興）若一個矩形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形． （1）設(shè)a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）． （2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結(jié)兩邊對應(yīng)的等分點(diǎn)，以這些連結(jié)為一邊作

9、矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖2所示． ①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？ ②若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比． 考點(diǎn)： 四邊形綜合題． 分析： （1）答案不唯一，根據(jù)已知舉出即可； （2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，

10、BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根據(jù)已知判斷即可； ②設(shè)AM=h，根據(jù)△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分為兩種情況：當(dāng)B3C3=2×h，時，當(dāng)B3C3=×h時，代入求出即可． 解答： 解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4； （2）①以B1C1為一邊的矩形不是方形． 理由是：過A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，則AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1， ∵由矩形的性質(zhì)得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4， ∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C

11、3∽△AB4C4， ∴=，==，==，==， ∵AM=20，BC=25， ∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16， ∴MN=GN=GH=HE=4， ∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4， 即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1， ∴以B1C1為一邊的矩形不是方形； ②∵以B3C3為一邊的矩形為方形，設(shè)AM=h， ∴△ABC∽△AB3C3， ∴==， 則AG=h， ∴MN=GN=GH=HE=h， 當(dāng)B3C3=2×h，時，=； 當(dāng)B3C3=×h時，=． 綜合上述：BC與BC邊上的高之比是或． 點(diǎn)

12、評： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比． 6、（2013?資陽）在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC，CD上的動點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN； （2）如圖2，假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)E同時從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（t＞0）； ①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由． ②連結(jié)FM、FN，△M

13、NF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關(guān)系；若不能，請說明理由． 考點(diǎn)： 四邊形綜合題 分析： （1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN； （2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=a，進(jìn)而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題； ②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論． 解答： （1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°， ∴∠ADF=∠DCN． 在△ADF與△DNC中， ， ∴△ADF≌△DNC（ASA）， ∴DF=MN． （2）解：①該命題是真命題． 理由如下：當(dāng)點(diǎn)F是邊

14、AB中點(diǎn)時，則AF=AB=CD． ∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE， ∴， ∴AE=EC，則AE=AC=a， ∴t==a． 則CM=1?t=a=CD， ∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)． ②能．理由如下： 易證AFE∽△CDE，∴，即，得AF=． 易證△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t． ∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t． 若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形： （I）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM， ∴AF=DM，即=t，得t=0，不合題意． ∴此種情形不存在； （II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC， ∴

15、t=a，此時點(diǎn)F與點(diǎn)B重合； （III）若FM=MN，顯然此時點(diǎn)F在BC邊上，如下圖所示： 易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t； 又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=． ∴=a﹣t， ∴t=a，此時點(diǎn)F與點(diǎn)C重合． 綜上所述，當(dāng)t=a或t=a時，△MNF能夠成為等腰三角形． 點(diǎn)評： 本題是運(yùn)動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點(diǎn)．解題要點(diǎn)是：（1）明確動點(diǎn)的運(yùn)動過程；（2）明確運(yùn)動過程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解． 7、（2013?寧波）若一個四邊形的一條對角線把四邊

16、形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形． （1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線； （2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形； （3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)． 考點(diǎn)：

17、 四邊形綜合題． 分析： （1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形， （3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)． 解答： 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．

18、∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD為等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和諧線； （2）由題意作圖為：圖2，圖3 （3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如圖4，當(dāng)AD=AC時， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴

19、∠CAD=30°， ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如圖5，當(dāng)AD=CD時， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°， ∴四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90° 如圖6，當(dāng)AC=CD時，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四邊形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠B

20、AC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°， ∴∠BCD=15°×3=45°． 點(diǎn)評： 本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵． 8、(2013年武漢)已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G． （1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證； （2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得成立？

21、并證明你的結(jié)論； （3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值． 解析： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴． （2）當(dāng)∠B+∠EGC＝180°時，成立，證明如下： 在AD的延長線上取點(diǎn)M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM， ∵∠B+∠EGC＝180°， ∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED． ∴△ADE∽

22、△DCM， ∴，即． （3）． 9、（2013杭州壓軸題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個動點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對稱，設(shè)它們的面積和為S1． （1）求證：∠APE=∠CFP； （2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，． ①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值； ②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱時，求y的值． 考點(diǎn)：四邊形綜合題． 分析：（1）利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論； （2）本問關(guān)鍵是求出y與x之間的函

23、數(shù)解析式． ①首先分別用x表示出S1與S2，然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式．這是一個二次函數(shù)，求出其最大值； ②注意中心對稱、軸對稱的幾何性質(zhì)． 解答：（1）證明：∵∠EPF=45°， ∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°； 而在△PFC中，由于PF為正方形ABCD的對角線，則∠PCF=45°， 則∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°， ∴∠APE=∠CFP． （2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°， ∴△APE∽△CPF，則． 而在正方形ABCD中，AC為對角線，則AC=AB=， 又∵P為對稱中心，則AP=CP=， ∴AE=

24、==． 如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PG⊥BC于點(diǎn)G， P為AC中點(diǎn)，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2． S△APE==×2×=， ∵陰影部分關(guān)于直線AC軸對稱， ∴△APE與△APN也關(guān)于直線AC對稱， 則S四邊形AEPN=2S△APE=； 而S2=2S△PFC=2×=2x， ∴S1=S正方形ABCD﹣S四邊形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x， ∴y===+﹣1． ∵E在AB上運(yùn)動，F(xiàn)在BC上運(yùn)動，且∠EPF=45°， ∴2≤x≤4． 令=a，則y=﹣8a2+8a﹣1，當(dāng)a==，即x=2時，y取得最大值． 而x=2在x的取值范圍內(nèi)，代入x=2，則y最

25、大=4﹣2﹣1=1． ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=+﹣1（2≤x≤4），y的最大值為1． ②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱， 而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對稱， 則EB=BF，即AE=FC， ∴=x，解得x=， 代入x=，得y=﹣2． 點(diǎn)評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形、二次函數(shù)的解析式與最值、幾何變換（軸對稱與中心對稱）、圖形面積的計(jì)算等知識點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，有一定的難度．本題重點(diǎn)與難點(diǎn)在于求出y與x的函數(shù)解析式，在計(jì)算幾何圖形面積時涉及大量的計(jì)算，需要細(xì)心計(jì)算避免出錯．　 13 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改