2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-8解三角形《教案》.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-8解三角形《教案》 1．三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等． 3．實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)． (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等． (3)方位角 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值． 4．解三角形應(yīng)用題的一般步驟 (1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系． (2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型． (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解． (4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等． 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)仰角與俯角都是目標(biāo)視線和水平線的夾角，故仰角與俯角沒有區(qū)別．(　　) (2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系不能確定．(　　) (3)若P在Q的北偏東44，則Q在P的東偏北46.(　　) (4)如果在測量中，某渠道斜坡坡比為，設(shè)α為坡角，那么cos α＝.(　　) (5)如圖，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，γ進(jìn)行計算．(　√　) 1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60，C點的俯角是70，則∠BAC＝________. 答案　130 解析　由已知∠BAD＝60， ∠CAD＝70， ∴∠BAC＝60＋70＝130. 2．已知△ABC，C為坐標(biāo)原點O，A(1，sin α)，B(cos α，1)，α∈，則當(dāng)△OAB的面積達(dá)到最大值時，α＝______. 答案　 解析　∵S＝1－1sin α－1cos α－(1－cos α)(1－sin α) ＝－sin αcos α ＝－sin 2α. ∴當(dāng)α＝時，S取到最大值． 3．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為________． 答案　或2 解析　如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30， 由余弦定理得()2＝x2＋32－2x3cos 30， 整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 4．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30且相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos θ等于________． 答案　 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800，所以BC＝20. 由正弦定理，得 sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝. 故cos θ＝cos(∠ACB＋30) ＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30＝. 題型一　測量距離、高度問題 例1　(1)(xx四川)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46 m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin 67≈0.92，cos 67≈0.39，sin 37≈0.60，cos 37≈0.80，≈1.73) (2)某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高． 思維點撥　(1)利用正弦定理解△ABC.(2) 依題意畫圖，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD＝40米，此時∠DBF＝45，從C到D沿途測塔的仰角，只有B到測試點的距離最短時，仰角才最大，這是因為tan∠AEB＝，AB為定值，BE最小時，仰角最大．要求塔高AB，必須先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)． (1)答案　60 解析　根據(jù)已知的圖形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30，∠BAC＝37，由正弦定理，得＝，所以BC≈20.60＝60(m)． (2)解　如圖所示，某人在C處，AB為塔高， 他沿CD前進(jìn)，CD＝40，此時∠DBF＝45，過點B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝30， 在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30，∠DBC＝135，由正弦定理，得 ＝， ∴BD＝＝20(米)． ∵∠BDE＝180－135－30＝15. ∴在Rt△BED中， BE＝DBsin 15＝20＝10(－1)(米)． 在Rt△ABE中，∠AEB＝30， ∴AB＝BEtan 30＝(3－)(米)． 故所求的塔高為(3－)米． 思維升華　這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，注意綜合應(yīng)用方程、平面幾何和立體幾何等知識． 　(1)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為________m. (2)(xx江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量cos A＝，cos C＝. ①求索道AB的長； ②問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ ③為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ (1)答案　30＋30 解析　在△PAB中，∠PAB＝30，∠APB＝15，AB＝60，sin 15＝sin(45－30)＝sin 45cos 30－cos 45sin 30＝－＝，由正弦定理得＝，∴PB＝＝30(＋)， ∴樹的高度為PBsin 45＝30(＋) ＝(30＋30)m. (2)解?、僭凇鰽BC中，因為cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝＋＝. 由正弦定理＝，得 AB＝sin C＝＝1 040(m)． 所以索道AB的長為1 040 m. ②假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130t m， 所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2130t(100＋50t) ＝200(37t2－70t＋50)， 由于0≤t≤，即0≤t≤8， 故當(dāng)t＝ min時，甲、乙兩游客距離最短． ③由正弦定理＝， 得BC＝sin A＝＝500(m)． 乙從B出發(fā)時，甲已走了50(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得－3≤－≤3，解得≤v≤， 所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)． 題型二　測量角度問題 例2　如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，以B處向北偏東30方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間． 思維點撥　設(shè)緝私船t小時后在D處追上走私船，確定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出時間． 解　設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)， 在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC ＝(－1)2＋22－2(－1)2cos 120＝6. ∴BC＝(海里)． 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45，∴B點在C點的正東方向上， ∴∠CBD＝90＋30＝120， 在△BCD中，由正弦定理，得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠BCD＝30，∴緝私船沿北偏東60的方向行駛． 又在△BCD中，∠CBD＝120，∠BCD＝30， ∴D＝30，∴BD＝BC，即10t＝. ∴t＝小時≈15(分鐘)． ∴緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘． 思維升華　測量角度問題的一般步驟 (1)在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形； (3)將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解． 　如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角的大小． 解　依題意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0<∠CAD<180，所以∠CAD＝45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 題型三　利用三角函數(shù)模型求最值 例3　如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0. (1)將十字形的面積表示為θ的函數(shù)； (2)θ滿足何種條件時，十字形的面積最大？最大面積是多少？ 思維點撥　由題圖可得：x＝cos θ，y＝sin θ. 列出面積函數(shù)后，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解，注意θ的范圍． 解　(1)設(shè)S為十字形的面積， 則S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ (<θ<)； (2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－ ＝sin(2θ－φ)－，其中tan φ＝， 當(dāng)sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝時，S最大． 所以，當(dāng)θ＝＋(tan φ＝)時，S最大，最大值為. 思維升華　三角函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，可利用其本身的值域來求函數(shù)的最值． 　如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8米，圓上最低點與地面距離為0.8米，且60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點與地面間的距離為h. (1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式； (2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點時用的最少時間是多少？ 解　(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－，故點B的坐標(biāo)為(4.8cos(θ－)，4.8sin(θ－))， ∴h＝5.6＋4.8sin. (2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是弧度/秒， 故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t， ∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 到達(dá)最高點時，h＝10.4米． 由sin＝1，得t－＝，∴t＝30秒， ∴纜車到達(dá)最高點時，用的最少時間為30秒． 函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用 典例：(14分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇． (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由． 規(guī)范解答 解　(1)設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里， 則S＝ ＝＝ .[4分] 故當(dāng)t＝時，Smin＝10，v＝＝30.[6分] 即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇小艇的航行距離最?。甗7分] (2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇． 則v2t2＝400＋900t2－22030tcos(90－30)， 故v2＝900－＋.[9分] ∵00，A>0)，則ω＝________，A＝________. 答案　　3 解析　每分鐘轉(zhuǎn)4圈，每圈所需時間T＝＝15. 又T＝＝15，∴ω＝，A＝3. 2．某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上的A，B探測點相距4米，探測線與地面的夾角分別為30和75(如圖所示)，則生命所在點C的深度為________米． 答案?。? 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴BC＝＝＝2. ∴點C的深度為BCsin 75＝2＝＋1. 3．甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是________________． 答案　20米、米 解析　如圖，依題意有甲樓的高度為AB＝20tan 60＝20(米)，又CM＝DB＝20(米)，∠CAM＝60，所以AM＝CM＝(米)，故乙樓的高度為CD＝20－＝(米)． 4．某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以10 n mile/h的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間． 解　如圖所示，設(shè)所需時間為t小時， 則AB＝10 t，CB＝10 t. 在△ABC中， 根據(jù)余弦定理，則有 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 120， 可得：(10t)2＝102＋(10t)2－21010tcos 120. 整理得：2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)． 所以艦艇需1小時靠近漁船， 此時AB＝10，BC＝10. 在△ABC中，由正弦定理得： ＝， 所以sin∠CAB＝＝＝. 所以∠CAB＝30. 所以艦艇航行的方位角為75. 5．某運輸裝置如圖所示，其中鋼結(jié)構(gòu)ABD是AB＝BD＝l，∠B＝的固定裝置，AB上可滑動的點C使CD垂直于地面(C不與A，B重合)，且CD可伸縮(當(dāng)CD伸縮時，裝置ABD隨之繞D在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn))，利用該運輸裝置可以將貨物從地面D處沿D→C→A運送至A處，貨物從 D處至C處運行速度為v，從C處至A處運行速度為3v.為了使運送貨物的時間t最短，需在運送前調(diào)整運輸裝置中∠DCB＝θ的大?。? (1)當(dāng)θ變化時，試將貨物運行的時間t表示成θ的函數(shù)(用含有v和l的式子表示)； (2)當(dāng)t最小時，C點應(yīng)設(shè)計在AB的什么位置？ 解　(1)在△BCD中，∵∠BCD＝θ，∠B＝，BD＝l， ∴BC＝，CD＝， ∴AC＝AB－BC＝l－， 則t＝＋＝－＋(<θ<)． (2)t＝(1－)＋＝＋. 令m(θ)＝，θ∈(，)，則m′(θ)＝. 令m′(θ)＝0，得cos θ＝，設(shè)cos θ0＝，θ0∈(，)， 則θ∈(，θ0)時，m′(θ)<0；當(dāng)θ∈(θ0，)時，m′(θ)>0，∴當(dāng)cos θ＝時，m(θ)取得最小值2，此時BC＝l. 故當(dāng)BC＝l時貨物運行時間最短.