結(jié)構(gòu)有限元法一般解法32西北工業(yè)大學(xué)課件.ppt

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3 2選擇位移函數(shù)位移法分析結(jié)構(gòu)首先要求解的是位移場 要在整個結(jié)構(gòu)建立位移的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達式往往是困難的甚至是不可能的 結(jié)構(gòu)離散化成單元的集合體后 對于單個的單元 可以遵循某些基本準則 用較之以整體為對象時簡單得多的方法設(shè)定一個簡單的函數(shù)為位移的近似函數(shù) 稱為位移函數(shù) 位移函數(shù)一般取為多項式形式 3 2位移函數(shù)的多項式形式一維單元中 位移函數(shù)的多項式形式表示為 二維單元中 三維單元中 插值多項式階次的選擇原則 1 插值多項式應(yīng)當(dāng)盡可能滿足下節(jié)所述的收斂性要求 2 多項式描述的位移形式與局部坐標系無關(guān) 3 多項式的數(shù)目應(yīng)等于單元結(jié)點自由度的數(shù)目第 1 條要求在后面討論 第 2 條要求即在不同局部坐標系中 位移函數(shù) 多項式 表達式不變 這種性質(zhì)稱為幾何等向性 為獲得幾何等向性 多項式中應(yīng)含有不違反下圖所示對稱性的那些項 收斂性要求 1 位移函數(shù)中必須含有反映剛體運動的項數(shù) 多項式形式的常數(shù)項即體現(xiàn)這一剛體位移 2 位移函數(shù)應(yīng)反映單元的常應(yīng)變 即位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中必須有常數(shù)項存在 當(dāng)單元尺寸無限縮小時 單元應(yīng)變將趨近于常量 因此單元位移函數(shù)中應(yīng)包括常應(yīng)變項 平面應(yīng)力和空間應(yīng)力中 應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù) 常應(yīng)變即要求位移函數(shù)含有一次項 3 位移函數(shù)必須保證在相鄰單元的接觸面上應(yīng)變是有限的在有限單元法中 按位移求解時 只計算了各單元內(nèi)部的應(yīng)變能 沒有計算相鄰兩單元接觸面上的功 由于接觸面的厚度是零 當(dāng)接觸面上的應(yīng)變是有限值時 此功等于零 反之 當(dāng)接觸面上的應(yīng)變不是有限值時 此功就可能不等于零 忽略它會引起一定的誤差 3 3單元剛度矩陣建立 1 虛位移原理 2 單元位移 3 單元應(yīng)力與應(yīng)變 4 節(jié)點力與單元剛度矩陣 5 節(jié)點載荷 3 3 1虛位移原理 外力在虛位移上所做的虛功是 在物體的單位體積內(nèi) 應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛應(yīng)變能是 整個物體的虛應(yīng)變能是 虛位移原理 如果在虛位移發(fā)生之前 物體處于平衡狀態(tài) 那末在虛位移發(fā)生時 外力所做虛功等于物體的虛應(yīng)變能 即 3 3 2單元位移 單元內(nèi)任一點的位移可表示如下 3 3 3單元應(yīng)變與應(yīng)力 3 3 4結(jié)點力與單元剛度矩陣 3 3 5結(jié)點載荷 1 分布體積力 2 分布面力 3 4組裝總剛 3 5解方程組求節(jié)點位移 1 約束位移邊界條件處理 2 斜支座處理 3 高斯消去法解方程組 4 三角分解法 位移邊界條件得到結(jié)構(gòu)的剛度方程后 結(jié)構(gòu)剛度方程的求解相當(dāng)于總剛 K 求逆的過程 但從數(shù)學(xué)上看 未經(jīng)處理的總剛是對稱 半正定的奇異矩陣 它的行列式值為零 不能立即求逆 從物理意義看 結(jié)構(gòu)處于自由狀態(tài) 在結(jié)點載荷的作用下 結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生任意的剛體位移 所以 在已知結(jié)點載荷的條件下 仍不能通過平衡方程唯一地解出結(jié)點位移 為了使問題可解 必須對結(jié)構(gòu)加以足夠的位移約束 也就是應(yīng)用位移邊界條件 首先要通過施加適當(dāng)?shù)募s束 消除結(jié)構(gòu)的剛體位移 再根據(jù)問題要求設(shè)定其它已知位移 約束的種類包括使某些自由度上位移為零 或給定其位移值 還有給定支承剛度等 本書涉及前兩種 處理約束的方法 常用的有刪行刪列法 分塊法 置大數(shù)法和置 1 法等 下面分別予以介紹 刪行刪列法若結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點位移值為零時 則可將總體剛度矩陣中相應(yīng)的行 列刪行刪列劃掉 然后將矩陣壓縮即可求解 這種方法的優(yōu)點是道理簡單 如果刪去的行列很多 則總體剛度矩陣的階數(shù)可大大縮小 通常用人工計算時常采用該方法 若用計算機算題 在程序編制上必帶來麻煩 因為剛度矩陣壓縮以后 剛度矩陣中各元素的下標必全改變 因而一般計算機算題不太采用 不是奇異的 因而可以解方程 分塊法 由于全部給定的結(jié)點位移通常都不能在位移向量的開始或終了 故分塊法的編號方法是很麻煩的 因此 可以采用下述等價方法 置 1 法 實際計算中 上述方程可以在不重新排列的情況下用下述分塊的方法來進行 置大數(shù)法在總體剛度矩陣中 把指定位移所對應(yīng)的行和列的對角元素乘上一個很大的數(shù) 此行其它元素保持不變 同時把該行對應(yīng)的載荷項也相應(yīng)地用來代替 這樣就用近似方程組代替原方程組 得到近似滿足邊界條件的解 當(dāng)指定位移為零時 只要將對角元素乘上一個大數(shù) 而相應(yīng)的載荷項經(jīng)證明可以不置零 刪行刪列法適用于指定零位移點 而置大數(shù)法適用于給定位移 包括零位移 斜支座的處理 對于邊界結(jié)點i 須限定方向位移為此 將邊界結(jié)點i的位移及載荷都變換到局部坐標 斜支座處理 高斯消去法解方程組 三角分解法 總體剛度平衡方程是對稱 正定矩陣 因而可作如下分解 是單位上三角矩陣 結(jié)束