新編備戰(zhàn)高考黃金100題解讀與擴(kuò)展系列之不等式：專題六 基本不等式的應(yīng)用 Word版含解析

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1、 I．題源探究·黃金母題 【例1】已知直角三角形的面積等于50，兩條直角邊各為多少時(shí)，兩條直角邊的和最小，最小值是多少？ 【解析】設(shè)兩條直角邊為，，根據(jù)基本不等式 ，即，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，即最小值是． 精彩解讀 【試題來(lái)源】人教版A版必修5 第100頁(yè)，練習(xí)2． 【母題評(píng)析】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值．作為基礎(chǔ)題，是歷年來(lái)高考的?？键c(diǎn)． 【思路方法】和定積有最大值，積定和有最小值． II．考場(chǎng)精彩·真題回放 【例2】【20xx高考湖南，文7】若實(shí)數(shù)滿足 ，則的最小值為 ( ) A． B．2

2、 C．2 D．4 【答案】C． 【解析】 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)），的最小值為，故選C． 【命題意圖】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用．本題能較好的考查考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力等． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等． 【難點(diǎn)中心】解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用基本不等式首先和與積互化． 【例3】【20xx高考福建文5】若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由已知得，則

3、 ． ，故， 當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)． 【命題意圖】本題考查直線方程以及運(yùn)用均值不等式求解析幾何中的最值問(wèn)題． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大，往往是高中數(shù)學(xué)主要知識(shí)的交匯題． 【難點(diǎn)中心】活用“1”，“以常馭變”運(yùn)用均值不等式求解有關(guān)的最值問(wèn)題． III．理論基礎(chǔ)·解題原理 不等式稱為基本不等式，常見(jiàn)的與這個(gè)不等式有關(guān)的其它不等式有： ． 等． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般難度中等或偏難． 【技能方法】 （1）基本不等式具有將“和式”與“積式”互化的放縮

4、功能，創(chuàng)造運(yùn)用基本不等式的條件，合理拆添項(xiàng)或配湊因式是解題的關(guān)鍵，滿足取等條件是前提．“和定積最大，積定和最小”“一正二定三相等”是常用的口訣． （2）必須掌握的三個(gè)不等式：①，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；②，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；③，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）． 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 （1）注意不等式成立的條件是，若，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為，再運(yùn)用基本不等式求解． （2）“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立”的含義是“”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． （3）有些題目要多次運(yùn)用基本不等式才能求出最后結(jié)果，針對(duì)這種情況，要切記等號(hào)成立的條件． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 利用基

5、本不等式求函數(shù)最大值、最小值 【例3】【20xx全國(guó)大聯(lián)考1山東卷】已知不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【名師點(diǎn)睛】（1）利用基本不等式求函數(shù)最大（?。┲担骸昂投ǚe最大，積定和最小”； （2）應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)“一正、二定、三相等”三個(gè)條件缺一不可． 【跟蹤訓(xùn)練】【20xx海南中學(xué)考前模擬】設(shè)均為正數(shù)，且，則的最小值為（ ） A．16

6、 B．15 C．10 D．9 【答案】D 考向2 均值不等式應(yīng)用題 【例4】【吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題】某公司生產(chǎn)一批A產(chǎn)品需要原材料500噸，每噸原材料可創(chuàng)造利潤(rùn)12萬(wàn)元．該公司通過(guò)設(shè)備升級(jí)，生產(chǎn)這批A產(chǎn)品所需原材料減少了x噸，且每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)提高0．5x%；若將少用的x噸原材料全部用于生產(chǎn)公司新開(kāi)發(fā)的B產(chǎn)品，每噸原材料創(chuàng)造的利潤(rùn)為12（a﹣x）萬(wàn)元（a＞0）． （Ⅰ）若設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)不低于原來(lái)生產(chǎn)該批A產(chǎn)品的利潤(rùn)，求x的取值范圍． （Ⅱ

7、）若生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)，求a的最大值． 【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；函數(shù)的零點(diǎn)． 【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式． 【分析】（Ⅰ）由題意，12（500﹣x）（1+0．5x%）≥12×500，即可求x的取值范圍． （Ⅱ）利用生產(chǎn)這批B產(chǎn)品的利潤(rùn)始終不高于設(shè)備升級(jí)后生產(chǎn)這批A產(chǎn)品的利潤(rùn)，建立不等式，即可求a的最大值． ∴a≤++．∵+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=250時(shí)等號(hào)成立，∴0＜a≤5．5，∴a的最大值是5．5． 【名師點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題． 選

8、擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，列車函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值． 【跟蹤訓(xùn)練】為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：(，為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和． （1）求的值及的表達(dá)式； （2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小？并求最小值． 【答案】（1），；（2）隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元． 【解析】 （1）當(dāng)時(shí)，，，，. （2），設(shè)，． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.這時(shí)，因此的最小值為70． 即隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元．