新版高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題05 排列組合和概率理 Word版含解析

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2、 1 20xx年高考三輪復習系列：講練測之核心熱點 【全國通用版】 【名師精講指南篇】 【高考真題再現(xiàn)】 1.【20xx新課標Ⅱ理】從個正整數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于的概率為,則 . 【答案】8 【解析】由題意知,取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：和,所以,即,解得（舍去）或. 2.【20xx全國1高考

3、理】4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3【20xx全國Ⅱ理】某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是 0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質量 為優(yōu)良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 【答案】A 【解析】此題為條件概率,,故選A. 4.【20xx全國Ⅰ理】投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試,已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投

4、籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為（）. A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【解析】 根據(jù)獨立重復試驗公式得,該同學通過測試的概率為．故選A． 【熱點深度剖析】 從這三年高考來看,對這一熱點的考查,主要考查分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理,排列組合,等可能事件的概率,古典概型,幾何概型,條件概率,相互獨立事件的概率、互斥事件的概率． 20xx年高考考查抽樣方法與古典概型,屬于基礎題；20xx年高考題主要考查古典概型,利用排列組合知識求古典概型的概率及條件概率概率的計算,屬于基礎題．20xx年考查相互對立事件的概率.高考對這一部

5、分知識的考查單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),一般在試卷的靠前部分,屬于中低難度的題目,難度較低,分清事件是什么事件是解題的關鍵；排列組合有時與概率結合出現(xiàn)在解答題中難度較小,屬于高考題中的中低檔題目；從高考試題的形式來看,排列組合和概率往往結合在一起考查,且以概率為主,單純考察排列組合較少,試題難度不大,為中低檔題,預測20xx年高考,古典概型概率的計算考查的可能性較大,另外幾何概型全國卷還沒有考查過,不能忽視． 【重點知識整合】 1.排列數(shù)中、組合數(shù)中. (1)排列數(shù)公式 ； (2)組合數(shù)公式 ；規(guī)定,. (3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質：①；②；③；④；⑤；⑥. 2.

6、解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事,它是相互獨立的,一次的且每次得出的是最后的結果,只需一種方法就能完成這件事）,分步相乘（一步得出的結果都不是最后的結果,任何一步都不能獨立地完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事,各步是關聯(lián)的）,有序排列,無序組合． 3.解排列組合問題的方法有： （1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置） （2）間接法（對有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉） （3）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊

7、元素“捆綁”為一個大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁”,將特殊元素在這些位置上全排列） （4）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法,即先安排好沒有限制元條件的元素,然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間） （5）多排問題單排法 （6）多元問題分類法 （7）有序問題組合法 （8）選取問題先選后排法 （9）至多至少問題間接法 （10）相同元素分組可采用隔板法 4、分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組,平均分成n組問題別忘除以n！ 5．隨機事件的概率,其中當時稱為必然事件；當時稱為不可能事件P(A)=0

8、； 6.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=.理解這里m、ｎ的意義. 7、互斥事件：（A、B互斥,即事件A、B不可能同時發(fā)生）.計算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B). 8、對立事件：（A、B對立,即事件A、B不可能同時發(fā)生,但A、B中必然有一個發(fā)生）.計算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)； 9、獨立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨立,互不影響）P(A?B)＝P(A) ? P(B) .提醒：（1）如果事件A、B獨立,那么事件A與、與及事件與也都是獨立事件；（2）如果事件A、B相互獨立,那么事件A、B至少有一個不發(fā)生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(

9、B)；（3）如果事件A、B相互獨立,那么事件A、B至少有一個發(fā)生的概率是1－P（）＝1－P()P(). 10、獨立事件重復試驗：事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了次的概率(是二項展開式的第k+1項),其中為在一次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的概率. 提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率,關鍵是分清事件的性質.在求解過程中常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處理,把所求的事件：轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率,轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率,但要注意公式的使用條件.

10、（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件,反之,事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：①先設事件A=“…”, B=“…”；②列式計算；③作答. 11.古典概型： 滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型： (1)有限性：在一次試驗中,可能出現(xiàn)的不同的基本事件只有有限個； (2)等可能性：每個基本事件的發(fā)生都是等可能的． 古典概型中事件的概率計算如果一次試驗的等可能基本事件共有n個,隨機事件A包含了其中m個等可能基本事件,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 12．幾何概型 區(qū)域A為區(qū)域Ω的一個子區(qū)域,如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件的區(qū)域A的幾何

11、度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型．幾何概型的概率P(A)＝,其中μA表示構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)．μΩ表示試驗的全部結果所構成區(qū)域的長度(面積或體積)． 13、解決概率問題要注意“四個步驟,一個結合”： ① 求概率的步驟是：第一步,確定事件性質 即所給的問題歸結為四類事件中的某一種. 第二步,判斷事件的運算 即是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件. 第三步,運用公式求解 第四步,答,即給提出的問題有一個明確的答復. 【應試技巧點撥】 1.求排列應用題的主要方法： (1)對無限制條件的問題——

12、直接法； (2)對有限制條件的問題,對于不同題型可采取直接法或間接法,具體如下： ①每個元素都有附加條件——列表法或樹圖法； ②有特殊元素或特殊位置——優(yōu)先排列法； ③有相鄰元素(相鄰排列)——捆綁法； ④有不相鄰元素(間隔排列)——插空法； 2.組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足；“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選?。? (2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解．通常用直接

13、法分類復雜時,考慮逆向思維,用間接法處理． 3.解排列、組合的綜合應用問題,要按照“先選后排”的原則進行,即一般是先將符合要求的元素取出(組合),再對取出的元素進行排列,常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、圖形分析法．要根據(jù)實際問題探索分類、分步的技巧,做到層次清楚,條理分明． 4.事件A的概率的計算方法,關鍵要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.因此必須解決以下三個方面的問題：第一,本試驗是否是等可能的；第二,本試驗的基本事件數(shù)有多少個；第三,事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好這三個方面的問題,解題才不會出錯． 5．幾何概型的兩個特點：一是無限性,即在一次試驗

14、中,基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可能性,即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此,用幾何概型求解的概率問題和古典概型的思路是相同的,同屬于“比例解法”．即隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積(體積、長度)”與“試驗的基本事件所占的總面積(總體積、長度)”之比來表示． 6.求復雜事件的概率,要正確分析復雜事件的構成,看復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解．一個復雜事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往用這種方法求解．注意辨別獨立重復試驗的基

15、本特征：①在每次試驗中,試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中,事件發(fā)生的概率相同．牢記公式,,并深刻理解其含義． 7．解答條件概率問題時應注意的問題 (1)正確理解事件之間的關系是解答此類題目的關鍵． (2)在求時,要判斷事件與事件之間的關系,以便采用不同的方法求．其中,若,則),從而. 8.解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路 (1)明確隨機變量可能取哪些值． (2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 注意　解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律,以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其

16、分布列的知識來解決實際問題． 【考場經(jīng)驗分享】 1．切實理解“完成一件事”的含義,以確定需要分類還是需要分步進行．分類時要做到不重不漏．對于復雜的計數(shù)問題,可以分類、分步綜合應用． 2．解決排列、組合問題可遵循“先組合后排列”的原則,區(qū)分排列、組合問題主要是判斷“有序”和“無序”,更重要的是弄清怎樣的算法有序,怎樣的算法無序,關鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”． 3．要能夠寫出所有符合條件的排列或組合,盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符,使復雜問題簡單化,這樣既可以加深對問題的理解,檢驗算法的正確與否,又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 4.幾何概型

17、求解時應注意： (1)對于一個具體問題能否應用幾何概型概率公式計算事件的概率,關鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況,選取合適的參數(shù),建立適當?shù)淖鴺讼?在此基礎上,將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系中的一個點,使得全體結果構成一個可度量區(qū)域． (2)由概率的幾何定義可知,在幾何概型中,“等可能”一詞應理解為對應于每個試驗結果的點落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小僅與該區(qū)域的幾何度量成正比,而與該區(qū)域的位置與形狀無關． 5.如果題設條件比較復雜,且備選答案數(shù)字較小,靠考慮窮舉法求解,如果試題難度較大并和其他知識聯(lián)系到一起,感覺不易求解,一般不要花費過多的時間,可通過排除法模糊確定,一

18、般可考慮去掉數(shù)字最大與最小的答案 本部分內(nèi)容的基礎是概率,高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列,還是以獨立重復試驗為背景的分布列,都要求計算概率．解此類問題的一個難點是正確的理解題意,需特別注意． 【名題精選練兵篇】 1.【20xx江西省贛中南五校第一次考試】不等式組表示的點集記為M,不等式組表示的點集記為N,在M中任取一點P,則P∈N的概率為 A. B. C. D. 【答案】B 2.【20xx桂林市、北海市、崇左市20xx年3月聯(lián)合調(diào)研】從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表,甲

19、被選中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,故選B. 3.【20xx遼寧大連市高三雙基測試卷】在區(qū)間上隨機地取兩個數(shù)、,則事件“”發(fā)生的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】在區(qū)間上隨機地取兩個數(shù)、構成的區(qū)域的面積為,事件“”發(fā)生的區(qū)域的面積為,所以所求概率為,故選D． 4.【20xx年河北省“五個一名校聯(lián)盟”二?！吭趨^(qū)間和分別取一個數(shù),記為a,b,則方程表示焦點在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為（　?。? A． B． C． D． 【答

20、案】B 5. 【20xx屆湖北省襄陽市第五中學高三第一學期11月質檢】高三畢業(yè)時,甲、乙、丙、丁四位同學站成一排照相留念,已知甲乙相鄰,則甲丙相鄰的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】4人站成一排,其中甲乙相鄰的情況有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丁甲乙丙）（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）（乙甲丙?。?、（乙甲丁丙）（丙乙丁甲）、（丁乙甲丙）（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲）共12種,其中甲丙相鄰的只有（丙甲乙丁）、（丁丙甲乙）、（乙甲丙?。?、（丁乙甲丙）共四種,所以所求的概率． 6. 設隨機變量服從正態(tài)分布,若,

21、則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】隨機變量服從正態(tài)分布,因此,,,故答案為B. 7. 【20xx屆貴州省貴陽市普通高中高三上學期期末監(jiān)測】若任取,,則點滿足的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 8. 【20xx屆北京市豐臺區(qū)高三上學期期末考試】20xx年11月,北京成功舉辦了亞太經(jīng)合組織第二十二次領導人非正式會議,出席會議的有21個國家和地區(qū)的領導人或代表．其間組委會安排這21位領導人或代

22、表合影留念,他們站成兩排,前排11人,后排10人,中國領導人站在第一排正中間位置,美俄兩國領導人站在與中國領導人相鄰的兩側,如果對其他領導人或代表所站的位置不做要求,那么不同的排法共有 （A）種 （B）種 （C）種 （D）種 【答案】B 【解析】先安排美俄兩國領導人：中國領導人站在第一排正中間位置,美俄兩國領導人站在與中國領導人相鄰的兩側,所以美俄兩國領導人的安排有種不同方法；再安排其余人員,有種不同方法；所以,共有種不同方法. 9.【20xx屆陜西省寶雞市九校高三聯(lián)合檢測】已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6,一只螞蟻在其內(nèi)部爬行,若不

23、考慮螞蟻的大小,則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 10. 已知集合,,在區(qū)間上任取一實數(shù),則的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式,再求函數(shù)的定義域： 則,區(qū)間長度為2,區(qū)間長度為6,概率為,選C。 11.已知函數(shù),若是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù), 是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),則該函數(shù)有兩個極值點的概率為 A. B.

24、 C. D. 【答案】Ｄ 【解析】求導數(shù)可得,要滿足題意需有兩不等實根,即,即,又的取法共有種,其中滿足的有共6種,故所求的概率為,故選D． 12.從3名語文老師、4名數(shù)學老師和5名英語老師中選派5人組成一個支教小組,則語文、數(shù)學和英語老師都至少有1人的選派方法種數(shù)是（ ） A．590 B．570 C．360 D．210 【答案】A 【解析】設語文老師人數(shù)為,數(shù)學老師人數(shù)為,英語老師人數(shù)為,則符合條件的各科人數(shù)有以下幾種情況：,選派方法種數(shù)為,選A. 13.從數(shù)字、、、、中任取兩個不同的數(shù)字

25、構成一個兩位數(shù),則這個兩位數(shù)大于40的概率為 A． B． C． D． 【答案】B 14.在圓內(nèi)任取一點,則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出不等式組?表示的平面區(qū)域,得到如下圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A（1,2）,B（3,3）,C（3,1）,∵△ABC位于圓（x-2）2+（y-2）2=4內(nèi)的部分,∴在圓內(nèi)任取一點,則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為故答案為：． 15.【20xx屆湖南省長望

26、瀏寧四縣高三3月調(diào)研】如圖,矩形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（0,—1）,B（,—1）,C（,1）,D（0,1）,正弦曲線和余弦曲線在矩形ABCD內(nèi)交于點F,向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點,則該點落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 16.如圖,大正方形的面積是34,四個全等三角形圍成一個小正方形,直角三角形的較短邊長為3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵,則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為（ ） A. B. C.

27、 D. 【答案】 【解析】因為大正方形的面積是,所以大正方形的邊長是,由直角三角形的較短邊長為,得四個全等直角三角形的直角邊分別是和,則小正方形邊長為,面積為.所以小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為.故選. 17. 【20xx屆陜西省高三教學質量檢測一】周老師上數(shù)學課時,給班里同學出了兩道選擇題,她預估計做對第一道題的概率為,做對兩道題的概率為,則預估計做對第二道題的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 18.【20xx河南新鄉(xiāng)許昌平頂山二調(diào)】某校高二年級有5個文科班,

28、每班派2名學生參加年級學生會選舉,從中選出4名學生 進入學生會,則這4名學生中有且只有兩名學生來自同一個班級的概率為___________． 【答案】 【解析】4名學生中有且只有兩名學生來自同一個班級的概率為. 【名師原創(chuàng)測試篇】 1. 某小區(qū)準備在小區(qū)活動廣場建造如圖所示的休閑區(qū)域,中心區(qū)域E將建造一個噴泉,現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中種上不同顏色的花卉,現(xiàn)有四種不同顏色的花卉可供選擇．要求每一個區(qū)域種一種顏色的花卉,相鄰區(qū)域所種的顏色不同,則不同的種花卉的方法種數(shù)為(　　) A．64 B．72 C．84 D．96 【答案】C

29、 【解析】分成兩類：A和C同色時有4×3×3＝36(種)；A和C不同色時4×3×2×2＝48(種),∴一共有36＋48＝84(種)． 2.如圖,設拋物線的頂點為,與軸正半軸的交點為,設拋物線與兩坐標軸正半軸圍成的區(qū)域為,隨機往內(nèi)投一點,則點落在內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 3.從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù),組成點,則這些點在直線上方的概率為 . 【答案】 【解析】從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù),組成的點有 個,點在直線上方,即滿足不等式,這樣的點有(1,5),(2,

30、4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共12個,所以所求概率為. 4.如圖所示,在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P(x,y).則以x,y,1為邊長能構成銳角三角形的概率為 . 【答案】1－ 5.加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設第一、二、三道工序的次品率分別為,,,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為____________. 【答案】 【解析】加工出來的零件是次品的對立事件為零件是正品,由對立事件公式得加工出來的零件的次品率P＝1－××＝.故填. 6.甲袋中有2個白球和4個紅球,乙袋中有1個白球和2個紅球.現(xiàn)在隨機地從甲袋中取出一球放入乙袋,然后從乙袋中隨機地取出一球,則取出的球是白球的概率是________. 【答案】 【解析】設A表示事件“從甲袋放入乙袋中的球是白球”,B表示事件“最后從乙袋中取出的球是白球”. ∴P(A)＝,P()＝,P(B|A)＝,P(B|)＝. P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故填.