2018-2019學年高中數(shù)學 第2章 平面解析幾何初步 2.2 圓與方程 2.2.2 直線與圓的位置關系課時作業(yè) 蘇教版必修2.doc

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2.2.2 直線與圓的位置關系 [學業(yè)水平訓練] 1．經過點(1，－7)且與圓x2＋y2＝25相切的直線方程為________． 解析：設切線的斜率為k， 則切線方程為y＋7＝k(x－1)，即kx－y－k－7＝0. ∴＝5. 解得k＝或k＝－. ∴所求切線方程為y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)． 即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0. 答案：4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0 2．圓心坐標為(2，－1)的圓在直線x－y－1＝0上截得的弦長為2，則此圓的方程為________． 解析：圓心到直線的距離d＝＝，由于弦心距d、半徑r及弦長的一半構成直角三角形，所以r2＝d2＋()2＝4，所以所求圓的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 3．若直線ax＋by＋1＝0與圓C：x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)與圓C的位置關系是________． 解析：由題意<1， ∴a2＋b2>1，點P(a，b)到圓心的距離為 ＝>1＝r，∴點P在圓C外． 答案：點P在圓C外 4．過直線x＋y－2＝0上點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是________． 解析：設P(x，y)，則由已知可得OP(O為原點)與切線的夾角為30，則OP＝2，由，可得.故點P的坐標是(，)． 答案：(，) 5．圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離為的點的個數(shù)為________． 解析：圓心(－1，－2)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝，又圓半徑r＝2，所以滿足條件的點共有3個． 答案：3 6．過點A(1，)的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k等于________． 解析：由(1－2)2＋()2＝3<4可知，點A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內部，圓心為O(2,0)，要使得劣弧所對的圓心角最小，只能是直線l⊥OA，所以kl＝－＝－＝. 答案： 7．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0. (1)當a為何值時，直線l與圓C相切？ (2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且AB＝2時，求直線l的方程． 解：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方后得到標準方程x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2. (1)若直線l與圓C相切，則有＝2. 解得a＝－. 即當a＝－時，直線l與圓C相切． (2)法一：過圓心C作CD⊥AB于點D， 則根據(jù)題意和圓的性質， 得 解得a＝－7或a＝－1. 即直線l的方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 法二：聯(lián)立方程組并消去y，得(a2＋1)x2＋4(a2＋2a)x＋4(a2＋4a＋3)＝0. 設此方程的兩根分別為x1，x2， 由AB＝2＝， 可求出a＝－7或a＝－1. 即直線l的方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 8．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，問：是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 解：設這樣的直線存在，其方程為y＝x＋m， 它與圓C的交點設為A(x1，y1)、B(x2，y2)． 則由 得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0 (*) ∴ ∴y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2. ∵以弦AB為直徑的圓過原點，∴∠AOB＝90，即OA⊥OB.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0. ∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0. m2＋4m－4－m(m＋1)＋m2＝0.m2＋3m－4＝0. ∴m＝1或m＝－4. 容易驗證：m＝1或m＝－4時(*)有實根．故存在這樣的直線，有兩條，其方程為y＝x＋1或y＝x－4. [高考水平訓練] 1．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________． 解析：設圓心坐標為(x0,0)(x0>0)，由于圓過點(1,0)，則半徑r＝|x0－1|.圓心到直線l的距離為d＝.由弦長為2可知()2＝(x0－1)2－2， 整理得(x0－1)2＝4. ∴x0－1＝2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)． 因此圓心為(3,0)，由此可求得過圓心且與直線y＝x－1垂直的直線方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 2．在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2＋y2＝4上有且只有四個點到直線12x－5y＋c＝0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是________． 解析：由題設，得若圓上有四個點到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0≤d＜1. ∵d＝＝， ∴0≤|c|＜13，即c∈(－13,13)． 答案：(－13,13) 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值． 解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2， 解得t＝1. 則圓C的半徑為＝3. 所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足方程組 消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2＞0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①②得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1. 4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程； (2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標． 解：(1)由題意可知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，所以圓心C1(－3,1)到直線l的距離d＝＝1，由點到直線的距離公式得＝1， 化簡得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－. 所以直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)設點P的坐標為(m，n)，直線l1，l2的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0， －x－y＋n＋m＝0. 因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等，由垂徑定理，得：圓心C1(－3,1)到直線l1的距離與圓心C2(4,5)到直線l2的距離相等，故有＝，化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5，關于k的方程有無窮多解，有或，解得或，故點P的坐標為(，－)或(－，)．