2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 課時跟蹤訓(xùn)練7 二項式定理 新人教A版選修2-3.doc

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課時跟蹤訓(xùn)練(七) 二項式定理 (時間45分鐘) 題型對點(diǎn)練(時間20分鐘) 題組一　二項式定理 1．若(2x－3)n＋3的展開式中共有15項，則自然數(shù)n的值為(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 [解析]　因為(2x－3)n＋3的展開式中共n＋4項，所以n＋4＝15，即n＝11，選A. [答案]　A 2．已知(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝(　　) A．44 B．46 C．110 D．120 [解析]　二項式(1＋)5的展開式為1＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋30＋30＋45＋9＝76＋44，所以a＝76，b＝44，a＋b＝76＋44＝120. [答案]　D 3．用二項式定理展開6. [解]　6＝6＝＝[Cx6(－1)0＋Cx5(－1)1＋Cx4(－1)2＋Cx3(－1)3＋Cx2(－1)4＋Cx1(－1)5＋Cx0(－1)6]＝(x6－6x5＋15x4－20x3＋15x2－6x＋1)＝x3－6x2＋15x－20＋－＋. 題組二　二項式定理中的特定項與系數(shù)問題 4．二項式5的展開式中的二項式系數(shù)為(　　) A．1 B．5 C．10 D．20 [解析]　5的展開式的通項為Tr＋1＝Cx5－rr＝rCx5－2r，令5－2r＝－1，得r＝3，所以展開式中的二項式系數(shù)為C＝10.選C. [答案]　C 5．二項式5的展開式中的常數(shù)項為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 [解析]　二項式5的展開式的通項為Tr＋1＝C(x3)5－rr＝(－1)r2rCx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項為T4＝(－1)323C＝－80，選B. [答案]　B 6．記n的展開式中第m項的系數(shù)為bm. (1)求bm的表達(dá)式； (2)若n＝6，求展開式中的常數(shù)項； (3)若b3＝2b4，求n. [解]　(1)n的展開式中第m項為C(2x)n－m＋1m－1＝2n＋1－mCxn＋2－2m， 所以bm＝2n＋1－mC. (2)當(dāng)n＝6時，n的展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)6－rr＝26－rCx6－2r. 依題意，6－2r＝0，得r＝3， 故展開式中的常數(shù)項為T4＝23C＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2C＝22n－3C，從而C＝C，即n＝5. 題組三　整除(余數(shù))問題 7．設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 [解析]　512012＋a＝(134－1)2012＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項可得a＝12時，512012＋a能被13整除． [答案]　D 8．9192被100除所得的余數(shù)為________． [解析]　解法一：9192＝(100－9)92＝C10092－C100919＋C1009092－…＋C992，展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù)． ∵992＝(10－1)92＝C1092－C1091＋…＋C102－C10＋1，前91項均能被100整除，后兩項和為－919，因余數(shù)為正，可從前面的數(shù)中分離出1000，結(jié)果為1000－919＝81，故9192被100除可得余數(shù)為81. 解法二：9192＝(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C. 前91項均能被100整除，剩下兩項和為9290＋1＝8281，顯然8281除以100所得余數(shù)為81. [答案]　81 9．已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除． [證明]　1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝31n＋C31n－1＋…＋C31＋1－1＝31(31n－1＋C31n－2＋…＋C)， 顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除． 綜合提升練(時間25分鐘) 一、選擇題 1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中，若x5與x6的系數(shù)相等，則n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析]　二項式(1＋3x)n的展開式的通項是Tr＋1＝C1n－r(3x)r＝C3rxr.依題意得C35＝C36， 即＝ 3(n≥6)，得n＝7. [答案]　B 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝則當(dāng)x>0時，f(f(x))表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 [解析]　依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝4，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－2.令r－2＝0，則r＝2，故常數(shù)項為C(－1)2＝6. [答案]　B 3.(1＋x)4展開式中含x2的項的系數(shù)為(　　) A．4 B．6 C．10 D．12 [解析]　根據(jù)乘法公式，得：①因式1＋中的1和(1＋x)4展開式中含x2的項相乘可得含x2的項；②因式1＋中的和(1＋x)4展開式中含x3的項相乘可得含x2的項．(1＋x)4展開式的通項為Tr＋1＝Cxr(r＝0,1，…，4)，故(1＋x)4展開式中含x2的項為1Cx2＋Cx3＝10x2，即含x2項的系數(shù)為10. [答案]　C 二、填空題 4．若6的展開式中x3項的系數(shù)為20，則a2＋b2的最小值為________． [解析]　本題利用二項式定理求出x3項的系數(shù)，從而求得ab的值，再應(yīng)用基本不等式解決.6的展開式的通項為Tr＋1＝C(ax2)6－rr＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值為2.故填2. [答案]　2 5．(x＋)100的展開式中，系數(shù)為有理項的共有________項． [解析]　Tr＋1＝C(x)100－rr＝C32x100－r(r＝0,1,2，…，100)，為使系數(shù)為有理數(shù)，r必為2與3的倍數(shù)，即6的倍數(shù)，故r＝0,6,12，…，96，共有17個． [答案]　17 三、解答題 6．已知在n的展開式中，第9項為常數(shù)項，求： (1)n的值； (2)展開式中x5的系數(shù)； (3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù)． [解]　已知二項展開式的通項Tk＋1＝Cn－kk＝(－1)kn－kCx. (1)因為第9項為常數(shù)項，即當(dāng)k＝8時，2n－k＝0， 解得n＝10. (2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6， 所以x5的系數(shù)為(－1)64C＝. (3)要使2n－k，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k＝0,1,2,3…，9,10，故符合要求的有6項，分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項． 7．(1)求多項式3的展開式； (2)求(1＋x)2(1－x)5的展開式中x3的系數(shù)． [解]　(1)∵x2＋－2＝x2－2＋＝2， ∴3＝6 ＝Cx6＋Cx5＋Cx42＋Cx33＋Cx24＋Cx5＋C6 ＝x6－6x4＋15x2－20＋－＋. (2)解法一：(1＋x)2(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)(1－3x＋3x2－x3)， ∴x3的系數(shù)為1(－1)＋(－2)(－3)＝5. 解法二：∵(1＋x)2的通項Tr＋1＝Cxr， (1－x)5的通項Tk＋1＝(－1)kCxk， ∴(1＋x)2(1－x)5的通項(－1)kCCxk＋r (其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5})，令k＋r＝3， 則有或或 故x3的系數(shù)為－CC＋CC－C＝5.