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課時分層作業(yè)(六) 橢圓的標準方程
(建議用時：40分鐘)
[基礎達標練]
一、填空題
1．已知點P為橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，若∠F1PF2為直角，則PF1PF2＝________.
[解析] 由∠F1PF2為直角得PF＋PF＝F1F.由橢圓方程得a2＝49，b2＝24，所以2PF1PF2＝(PF1＋PF2)2－(PF＋PF)＝(2a)2－(2c)2＝4(a2－c2)＝4b2，所以PF1PF2＝2b2＝224＝48.
[答案] 48
2．橢圓＋＝1的焦距為2，則m的值為________．
[解析] ∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝3或5.
[答案] 3或5
3．設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>5)的兩個焦點，且|F1F2|＝8，弦AB過點F1，則△ABF2的周長為________．
[解析] 易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝，因為弦AB過點F1，所以△ABF2的周長為AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4.
[答案] 4
4．若方程－＝1表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)m的取值范圍是________.
【導學號：71392060】
[解析] ∵方程－＝1表示焦點在y軸上的橢圓，將方程改寫為＋＝1，∴有
解得0
PF2，由條件知PF1－PF2＝2，又PF1＋PF2＝2a＝8，解得PF1＝5，PF2＝3.
又∵F1F2＝2c＝2＝4，∴F1F＋PF＝PF，
故△PF1F2是直角三角形．
[答案] 直角
6．設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，則△PF1F2的面積為________．
[解析] 根據(jù)橢圓定義有
因此|PF1|＝4，|PF2|＝3.又因為|F1F2|＝5，因此△PF1F2為直角三角形，S△PF1F2＝34＝6.
[答案] 6
7．過點(，－)且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為________.
【導學號：71392061】
[解析] 橢圓＋＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝
＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4，所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
[答案]?。?
8．橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是________．
[解析] 設橢圓的另一焦點為F2，由條件可知PF2∥OM，∴PF2⊥x軸．設P點縱坐標為y，則由＋＝1，得y＝，
∴點M的縱坐標為.
[答案]
二、解答題
9．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且⊥，若△PF1F2的面積為9，求b的值．
[解] 如圖所示，PF1⊥PF2，F(xiàn)1F2＝2c，
根據(jù)橢圓的定義可知，PF1＋PF2＝2a，
在Rt△F1PF2中，PF＋PF＝4c2.
又S＝PF1PF2＝9，即PF1PF2＝18.
∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1PF2＝4c2＋36＝4a2，
∴4a2－4c2＝36，即a2－c2＝9，即b2＝9，∴b＝3.
10．求符合下列條件的參數(shù)的值或取值范圍．
(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦點在x軸上的橢圓，求k的取值范圍；
(2)若橢圓8k2x2－ky2＝8的一個焦點為(0，)，求k的值.
【導學號：71392062】
[解] (1)原方程可化為＋＝1.
∵其表示焦點在x軸上的橢圓，∴解得k>1.故k的取值范圍是(1，＋∞)．
(2)原方程可化為＋＝1.
由題意得
即
故k的值為－1或－.
[能力提升練]
1．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－4，0)和C(4,0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則的值為________．
[解析] 由橢圓的標準方程可知，橢圓的焦點在x軸上，且半焦距c＝＝＝4,2a＝10.
∴A(－4,0)和C(4,0)是橢圓的左、右焦點．
∵點B在橢圓上，
∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，
∴＝
＝＝＝(R為△ABC外接圓的半徑)．
[答案]
2．已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5,3，過P且與x軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，則橢圓的方程為________．
[解析] 由題意知橢圓焦點在x軸上，設所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，
由已知條件得解得a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求方程為＋＝1.
[答案]?。?
3．“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓”的________條件．
[解析] 由方程mx2＋ny2＝1，得＋＝1，所以要使方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓，則即m>0，n>0且m≠n.所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件．
[答案] 必要不充分
4．已知橢圓的標準方程為＋＝1(m>0)，焦距為6，求實數(shù)m的值.
【導學號：71392063】
[解]?、佼敊E圓焦點在x軸上時，
由2c＝6，得c＝3.
由橢圓的標準方程為＋＝1(m>0)，
得a2＝25，b2＝m2，
所以m2＝25－9＝16.
因為m>0，所以m＝4.
②當橢圓焦點在y軸上時，由2c＝6，得c＝3.
由橢圓的標準方程為＋＝1(m>0)，
得a2＝m2，b2＝25，
所以m2＝25＋9＝34.
因為m>0，所以m＝.
綜上所述，實數(shù)m的值為4或.
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