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課時分層作業(yè)(十一) 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
(建議用時：40分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1．已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于( )
A． B． C． D．
C [由題意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]
2．已知雙曲線方程為x2－＝1，過P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則共有l(wèi)( )
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
B [因為雙曲線方程為x2－＝1，所以P(1,0)是雙曲線的右頂點，所以過P(1,0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外還有兩條就是過點P(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的共有3條，故選B．]
3．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距等于( )
A．2 B．2 C．4 D．4
C [由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，從而雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x，由焦點到漸近線的距離為，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故選C．]
4．若實數(shù)k滿足0
0,16－k>0，故方程－＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，且實半軸的長為4，虛半軸的長為，焦距2c＝2，離心率e＝；同理方程－＝1也表示焦點在x軸上的雙曲線，實半軸的長為，虛半軸的長為，焦距2c＝2，離心率e＝.可知兩曲線的焦距相等，故選D．]
5．設雙曲線－＝1(b>a>0)的半焦距為c，且直線l過(a,0)和(0，b)兩點，已知原點到直線l的距離為，則雙曲線的離心率為( )
A． B． C． D．2
D [直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原點到直線l的距離d＝＝＝c
即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.
整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝
又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]
二、填空題
6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線方程為________．
－y2＝1 [由題意可得，解得，
故所求雙曲線方程為－y2＝1.]
7．若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是________.
【導學號：46342102】
(1，) [e2＝1＋，由a>1得10)的兩條漸近線分別交于點A，B，且△AOB的面積為8，則焦距為________．
2 [雙曲線的漸近線方程為y＝bx，則A(2,2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，從而S△AOB＝4b2＝8.
解得b＝2，所以c2＝5，從而焦距為2.]
三、解答題
9．雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，它的一條漸近線為y＝x，求雙曲線的標準方程和離心率．
[解] 由橢圓＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦點在y軸上，
∵雙曲線的一條漸近線為y＝x，
∴設雙曲線方程為－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求雙曲線的方程為－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為(，0)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且>2，其中O為原點，求k的取值范圍.
【導學號：46342103】
[解] (1)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因為a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故雙曲線C的方程為－y2＝1.
(2)將y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得：
即k2≠且k2<1. ①
設A(xA，yA)，B(xB，yB)，
則xA＋xB＝，xAxB＝，
由>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)＋＋2＝，
于是>2，
解此不等式得0，b>0)的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為( )
A．3x4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x4y＝0 D．4x3y＝0
D [由題意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2為等腰三角形，所以由F2向直線PF1作的垂線也是中線，因為F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，兩邊平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，從而＝，所以該雙曲線的漸近線方程為4x3y＝0，故選D．]
3．設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過點F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．
1 [不妨設點B在第一象限，則A1(－a,0)，B，A2(a,0)，C，所以＝，＝.因為A1B⊥A2C，所以＝0，所以c2－a2－＝0，整理得，＝1，即＝1，所以漸近線的斜率為1.]
4．已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數(shù)m的值是________.
【導學號：46342104】
1 [由，消去y得x2－2mx－m2－2＝0.則Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為(m,2m)．又點(m,2m)在圓x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝1.]
5．直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點．
(1)求線段AB的長；
(2)當a為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？
[解] 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由題意可得3－a2≠0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝＝＝＝.
(2)由題意知，OA⊥OB，則＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)＋a＋1＝0，解得a＝1.
經(jīng)檢驗a＝1時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點.
2018年秋高中數(shù)學 課時分層作業(yè)11 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修2-1.doc
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