新版高三數學 第65練 雙曲線練習

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2、 1 第65練 雙曲線 訓練目標 (1)理解雙曲線定義并會靈活應用；(2)會求雙曲線標準方程；(3)理解雙曲線的幾何性質并能利用幾何性質解決有關問題． 訓練題型 (1)求雙曲線的標準方程；(2)求離心率；(3)求漸近線方程；(4)幾何性質的綜合應用． 解題策略 (1)熟記相關公式；(2)要善于利用幾何圖形，數形結合解決離心率范圍問題、漸近線夾角問題. 一、選擇題 1

3、．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2．已知0<θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 3．(20xx·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C的左，右焦點，若·＝0，則點P到x軸的距離為(　　) A. B. C．2 D. 4．(20xx·宜賓一模)已知點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，動點P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標為時，點P到坐標

4、原點的距離是(　　) A. B. C. D．2 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(4,3)，則此雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 6．設雙曲線－＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為(　　) A. B．11 C．12 D．16 7．設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于(　　) A．4 B．8

5、 C．24 D．48 8．過雙曲線－＝1(b>a>0)的右頂點A作斜率為－1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若A，B，C三點的橫坐標成等比數列，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 二、填空題 9．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率是2，則的最小值是________． 10．(20xx·安徽江南十校聯(lián)考)以橢圓＋＝1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2，已知點M的坐標為(2,1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則S△PMF1－S△PMF2＝________. 11．圓x2＋y2

6、＝4與y軸交于點A，B，以A，B為焦點，坐標軸為對稱軸的雙曲線與圓在y軸左邊的交點分別為C，D，當梯形ABCD的周長最大時，此雙曲線的方程為________________． 12.(20xx·淮北一模)稱離心率為e＝的雙曲線－＝1(a>0，b>0)為黃金雙曲線，如圖是雙曲線－＝1(a>0，b>0，c＝)的圖象，給出以下幾個說法： ①雙曲線x2－＝1是黃金雙曲線； ②若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線； ③若F1，F(xiàn)2為左，右焦點，A1，A2為左，右頂點，B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線； ④若MN經過右焦點F2，且MN⊥F1F

7、2，∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線． 其中正確命題的序號為________.  答案精析 1．B　[由題意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故雙曲線的方程為 －＝1.] 2．D　[雙曲線C1的半焦距c1＝＝1，又雙曲線C2的半焦距c2＝＝1，故選D.] 3．C　[由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設l的方程為y＝x，點P(x0，x0)， 由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±， 故點P到x軸的距離為|x0|＝2.故選C.] 4．A　[由已知可得動點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線的左支，且c＝，a＝1， ∴b＝1，∴雙曲

8、線方程為x2－y2＝1(x≤－1)． 將y＝代入上式，可得點P的橫坐標為x＝－， ∴點P到原點的距離為＝.] 5．A　[由題意可知c＝＝5， ∴a2＋b2＝c2＝25，① 又點(4,3)在y＝x上，故＝，② 由①②解得a＝3，b＝4，∴雙曲線的方程為－＝1，故選A.] 6．B　[由雙曲線定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，兩式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB為經過雙曲線的左焦點與左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.] 7．C　[雙曲線的實軸長為2，焦距為|F1F

9、2|＝2×5＝10. 據題意和雙曲線的定義知，2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|， ∴|PF2|＝6，|PF1|＝8. ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴PF1⊥PF2， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.] 8．C　[由題意可知，經過右頂點A的直線方程為y＝－x＋a， 聯(lián)立解得x＝.聯(lián)立解得x＝.因為b>a>0，所以<0，且>0，又點B的橫坐標為等比中項，所以點B的橫坐標為，則a·＝()2，解得b＝3a，所以雙曲線的離心率e＝＝＝.] 9. 解析?。??＝4?a2＋b2＝4a2?3a2＝b2，則＝＝a＋

10、≥2 ＝，當且僅當a＝，即a＝時，取得最小值. 10．2 解析　雙曲線方程－＝1， |PF1|－|PF2|＝4， 由＝可得 ＝， 得F1M平分∠PF1F2. 又結合平面幾何知識可得， △F1PF2的內心在直線x＝2上， 所以點M(2,1)就是△F1PF2的內心， 故＝(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2. 11.－＝1 解析　設雙曲線的方程為－＝1 (a>0，b>0)， C(x′，y′)(x′<0，y′>0)， |BC|＝t(0

11、A|， ∴t2＝4(2－y′)， 即y′＝2－t2. ∴梯形的周長l＝4＋2t＋2y′ ＝－t2＋2t＋8 ＝－(t－2)2＋10， ∴當t＝2時，l最大． 此時，|BC|＝2，|AC|＝2，又點C在雙曲線的上支上，且A，B為焦點， ∴|AC|－|BC|＝2a，即2a＝2－2， ∴a＝－1， ∴b2＝2， ∴所求方程為－＝1. 12．①②③④ 解析?、匐p曲線x2－＝1， a2＝1，c2＝1＋＝， ∴e＝＝＝， ∴命題①正確； ②若b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e＝， ∴命題②正確； ③|B1F1|2＝b2＋c2，|B1A2|＝c， 由∠F1B1A2＝90°， 得b2＋c2＋c2＝(a＋c)2， 即b2＝ac，e＝， ∴命題③正確； ④若MN經過右焦點F2，且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，則c＝， 即b2＝ac，e＝， ∴命題④正確． 綜上，正確命題的序號為①②③④.