2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 提綱挈領(lǐng) 引領(lǐng)三 解題有法——領(lǐng)悟四種數(shù)學(xué)思想巧突破學(xué)案 理.doc

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引領(lǐng)三　解題有法——領(lǐng)悟四種數(shù)學(xué)思想巧突破 高考數(shù)學(xué)以能力立意，一是考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，基本技能；二是考查基本數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和寬度。數(shù)學(xué)思想方法是指從數(shù)學(xué)的角度來認(rèn)識、處理和解決問題，是數(shù)學(xué)意識，數(shù)學(xué)技能的升華和提高，中學(xué)數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 一、函數(shù)與方程思想 函數(shù)思想 方程思想 函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決 方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，以求得問題的解決 函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的。函數(shù)思想重在對問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究，方程思想則是在動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系 【例1】　(1)已知f (x)＝log2x，x∈[2,16]，對于函數(shù)f (x)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(　　) A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增。若實(shí)數(shù)a滿足f (2|a－1|)>f (－)，則a的取值范圍是________。 【解析】　(1)因?yàn)閤∈[2,16]，所以f (x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]。不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即為m(x－2)＋(x－2)2>0對m∈[1,4]恒成立。設(shè)g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，則此函數(shù)在區(qū)間[1,4]上恒大于0，所以即 解得x<－2或x>2。 (2)由f (x)是偶函數(shù)且f (x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增可知，f (x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減。又因?yàn)閒 (2|a－1|)>f (－)，而f (－)＝f ()，所以2|a－1|<，即|a－1|<，解得f ′(x)，且f (0)＝1，則不等式<1的解集為(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析　構(gòu)造函數(shù)g(x)＝，則g′(x)＝＝。由題意得g′(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減。又因?yàn)間(0)＝＝1，所以<1，即g(x)0，所以不等式的解集為(0，＋∞)。故選B。 答案　B 二、數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù)(數(shù)題形解) 以數(shù)輔形(形題數(shù)解) 借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，以數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想 借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，以形作為目的解決問題的數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合 【例2】　已知直線(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所過定點(diǎn)恰好落在函數(shù)f (x)＝的圖象上，若函數(shù)h(x)＝f (x)－mx＋2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A． B. C. D．(1，＋∞) 【解析】　由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得(x＋y－4)－m(x－3y)＝0，所以由可得直線過定點(diǎn)(3,1)，所以loga3＝1，所以a＝3。令f (x)－mx＋2＝0，得f (x)＝mx－2，在同一坐標(biāo)系中作出y1＝f (x)與y2＝mx－2的圖象(如圖所示)，易得|PF 2|，則的值為________。 【解析】　(1)由f (f (a))＝2f (a)得，f (a)≥1。當(dāng)a<1時(shí)，有3a－1≥1，解得a≥，所以≤a<1。當(dāng)a≥1時(shí)，有2a≥2>1，解得a≥1。綜上，a≥，故選C。 (2)若∠PF 2F 1＝90，則|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，因?yàn)閨PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2，解得|PF 1|＝，|PF 2|＝，所以＝。若∠F 2PF 1＝90，則|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以＝2。綜上所述，＝2或。 【答案】　(1)C　(2)2或 分類整合思想在解題中的應(yīng)用 (1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類。有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。 (2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論。有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等。 (3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起的分類。如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等。 (4)由圖形的不確定性引起的分類討論。有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等。 【變式訓(xùn)練4】　(1)若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2＋＝1的離心率是(　　) A． B． C．或 D．或 (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________。 解析　(1)因?yàn)閙是2和8的等比中項(xiàng)，所以m2＝28＝16，所以m＝4。當(dāng)m＝4時(shí)，圓錐曲線＋x2＝1是橢圓，其離心率e＝＝；當(dāng)m＝－4時(shí)，圓錐曲線x2－＝1是雙曲線，其離心率e＝＝＝。綜上可知，選項(xiàng)D正確。 (2)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0。當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1>0；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，則有?、倩颉、凇∮散俚茫?1。故q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)。 答案　(1)D　(2)(－1,0)∪(0，＋∞) 四、轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題的一種思想。其應(yīng)用包括以下三個(gè)方面： (1)將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 (2)將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題。 (3)將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。 【例5】　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝______。 (2)已知f (x)＝，則f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝________。 【解析】　(1)顯然△ABC為等邊三角形時(shí)符合題設(shè)條件，所以＝＝＝。 (2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1，所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 017)＋f (2 018)＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018。 【答案】　(1)　(2)2 018 轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則 (1)熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題。 (2)簡單化原則：將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題。 (3)直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題(如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化)。 (4)正難則反原則：若問題直接求解困難時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法、補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問題。 【變式訓(xùn)練5】　(1)已知函數(shù)f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使f (x0)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍。 (2)若a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，c＝z2－2x＋。求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。 解　(1)記p的范圍是I，原題可作為命題：若p∈I，則函數(shù)f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使f (x0)>0。 等價(jià)命題為：若函數(shù)f (x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上對任意的x都有f (x)≤0，則p∈?RI。 由對任意的x都有f (x)≤0，結(jié)合圖形知??p≤－3或p≥，即?RI＝，所以I＝，故所求的p的取值范圍為。 (2)證明：假設(shè)a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， 則a＋b＋c≤0。而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， 因?yàn)棣校?>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0， 所以a＋b＋c>0。 這與a＋b＋c≤0矛盾。 因此a，b，c中至少有一個(gè)大于0。