山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 拋物線練習(xí)（含解析）.doc

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拋物線 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=42，|DE|=25，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （正確答案）B 【分析】 畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可． 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 【解答】 解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=42，|AM|=22， |DE|=25，|DN|=5，|ON|=p2， xA=(22)22p=4p， |OD|=|OA|， 16p2+8=p24+5， 解得：p=4． C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4． 故選B． ? 2. 設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k=( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 （正確答案）D 解：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為(1,0)， 曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P在第一象限， 由PF⊥x軸得：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1， 代入C得：P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2， 故k=2， 故選：D 根據(jù)已知，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得k值． 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，難度中檔． 3. 設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)在直線2x+3y-8=0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( ) A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1 （正確答案）A 解：把y=0代入2x+3y-8=0得：2x-8=0，解得x=4， ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)， ∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4． 故選：A． 求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出準(zhǔn)線方程． 本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 4. 點(diǎn)A(2,1)到拋物線y2=ax準(zhǔn)線的距離為1，則a的值為( ) A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12 （正確答案）C 解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-a4， ∴點(diǎn)A(2,1)到拋物線y?2=ax準(zhǔn)線的距離為|2+ a 4 |=1 解得a=-4或a=-12． 故選C． 求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)距離列出方程解出a的值． 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題． 5. 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM?FN=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 （正確答案）D 解：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線為：3y=2x+4， 聯(lián)立直線與拋物線C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0， 解得y1=2，y2=4，不妨M(1,2)，N(4,4)，F(xiàn)M=(0,2)，F(xiàn)N=(3,4)． 則FM?FN=(0,2)?(3,4)=8． 故選：D． 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，然后求解向量的數(shù)量積即可． 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 6. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=20y的焦點(diǎn)重合，且其漸近線方程為3x4y=0，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A. x29-y216=1 B. y29-x216=1 C. x216-y29=1 D. y216-x29=1 （正確答案）B 解：∵拋物線x2=20y中，2p=20，p2=5， ∴拋物線的焦點(diǎn)為F(0,5)， 設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1， ∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)，且漸近線的方程為3x4y=0即y=34x， ∴a2+b2=c=5ab=34， 解得a=3，b=4(舍負(fù))， 可得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y29-x216=1.. 故選：B． 根據(jù)拋物線方程，算出其焦點(diǎn)為F(0,5).由此設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1，根據(jù)基本量的平方關(guān)系與漸近線方程的公式，建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b的值，即可得到該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 本題給出雙曲線與已知拋物線有一個(gè)焦點(diǎn)重合，在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程.著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題． 7. 若拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(x0,2)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 （正確答案）D 解：由題意，3x0=x0+p2，∴x0=p4， ∴p22=2， ∵p>0， ∴p=2， 故選D． 根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+p2，得出x0求得p，可得答案． 本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì).考查了考生對(duì)拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 8. 若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2，則a=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （正確答案）C 【分析】 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用拋物線的方程，求出p，即可求出結(jié)果.是基礎(chǔ)題． 【解答】 解：拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2，可得p=2，則a=2p=4． 故選C． 9. 已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為( ) A. -2 B. -43 C. -34 D. -12 （正確答案）C 解：由點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上， 即-2=-p2，則p=4， 故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,0)， 則直線AF的斜率k=3-0-2-2=-34， 故選C． 由題意求得拋物線方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率公式即可求得直線AF的斜率． 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 10. 已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F，A(x0,y0)是C上一點(diǎn)，AF=|54x0|，則x0=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （正確答案）A 解：拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F(14,0)， ∵A(x0,y0)是C上一點(diǎn)，AF=|54x0|，x0>0． ∴54x0=x0+14， 解得x0=1． 故選：A． 利用拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式即可得出． 本題考查了拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題． 11. 若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k=( ) A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 15 （正確答案）A 解：聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x， 消去y，可得k2x2-(4k+8)x+4=0，(k≠0)， 判別式(4k+8)2-16k2>0，解得k>-1． 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)， 則x1+x2=4k+8k2， 由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2， 即有4k+8k2=4， 解得k=2或-1(舍去)， 故選：A． 聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得x的方程，由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可求得k=2． 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意判別式大于0，屬于中檔題． 12. 已知拋物線方程為y=14x2，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A. (0,-1) B. (-116,0) C. (116,0) D. (0,1) （正確答案）D 解：把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=4y， ∴拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸，p=2，p2=1． ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)． 故選：D． 把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式得出焦點(diǎn)坐標(biāo)． 本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=______． （正確答案）6 【分析】 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可． 【解答】 解：拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)， 可知M的橫坐標(biāo)為：1， 則M的縱坐標(biāo)為：22， |FN|=2|FM|=2(1-2)2+(22-0)2=6． 故答案為6． 14. 若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是______ ． （正確答案）9 解：拋物線的準(zhǔn)線為x=-1， ∵點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10， ∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10， ∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9． 故答案為：9． 根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10，故到y(tǒng)軸的距離為9． 本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 15. 設(shè)拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數(shù)，p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C(72p,0)，AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為32，則p的值為_(kāi)_____． （正確答案）6 解：拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數(shù)，p>0)的普通方程為：y2=2px焦點(diǎn)為F(p2,0)，如圖：過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C(72p,0)，AF與BC相交于點(diǎn)E.|CF|=2|AF|， |CF|=3p，|AB|=|AF|=32p，A(p,2p)， △ACE的面積為32，AEEF=ABCF=12， 可得13S△AFC=S△ACE． 即：13123p2p=32， 解得p=6． 故答案為：6． 化簡(jiǎn)參數(shù)方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標(biāo)，利用三角形的面積列出方程，求解即可． 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力． 16. 拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是______；該拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0,y0)在此拋物線上，且|MF|=52，則x0=______． （正確答案）x=-12；2 解：∵拋物線方程為y2=2x ∴可得2p=2，得p2=12， 所以拋物線的焦點(diǎn)為F(12,0)，準(zhǔn)線方程為x=-12； ∵點(diǎn)M(x0,y0)在此拋物線上， ∴根據(jù)拋物線的定義，可得|MF|=x0+p2=52 即x0+12=52，解之得x0=2 故答案為：x=-12，2 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得拋物線開(kāi)口向右，由2p=2得p2=12，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-12；由拋物線的定義結(jié)合點(diǎn)M坐標(biāo)可得|MF|=x0+p2=52，解之可得x0的值． 本題給出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的準(zhǔn)線方程和滿足|MF|=52的點(diǎn)M的坐標(biāo).著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H． (Ⅰ)求|OH||ON|； (Ⅱ)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由． （正確答案）解：(Ⅰ)將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得P(t22p,t)， ∵M(jìn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N， ∴xN+xM2=t22p，yN+yM2=t， ∴N(t2p,t)， ∴ON的方程為y=ptx， 與拋物線方程聯(lián)立，解得H(2t2p,2t) ∴|OH||ON|=|yH||yN|=2； (Ⅱ)由(Ⅰ)知kMH=p2t， ∴直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2-4ty+4t2=0， ∴△=16t2-44t2=0， ∴直線MH與C除點(diǎn)H外沒(méi)有其它公共點(diǎn)． (Ⅰ)求出P，N，H的坐標(biāo)，利用|OH||ON|=|yH||yN|，求|OH||ON|； (Ⅱ)直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，利用判別式可得結(jié)論． 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確聯(lián)立方程是關(guān)鍵． 18. 已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，求直線l與圓M的方程． （正確答案）解：方法一：證明：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則A(2,2)，B(2,-2)， 則OA=(2,2)，OB=(2,-2)，則OA?OB=0， ∴OA⊥OB， 則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； 當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k(x-2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， y=kx-2y2=2x，整理得：k2x2-(4k2+1)x+4k2=0， 則x1x2=4，4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由y1y2<0， 則y1y2=-4， 由OA?OB=x1x2+y1y2=0， 則OA⊥OB，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上， 綜上可知：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； 方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2， x=my+2y2=2x，整理得：y2-3my-4=0， 令A(yù)(x1,y1)，B(x2,y2)， 則y1y2=-4， 則(y1y2)2=4x1x2，則x1x2=4，則OA?OB=x1x2+y1y2=0， 則OA⊥OB，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上， ∴坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)由(1)可知：x1x2=4，x1+x2=4k2+2k2，y1+y2=2k，y1y2=-4， 圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，則AP=(4-x1,-2-y1)，BP=(4-x2,-2-y2)， 由AP?BP=0，則(4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0， 整理得：k2+k-2=0，解得：k=-2，k=1， 當(dāng)k=-2時(shí)，直線l的方程為y=-2x+4， 則x1+x2=92，y1+y2=-1， 則M(94,-12)，半徑為r=丨MP丨=(4-94)2+(-2+12)2=854， ∴圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516． 當(dāng)直線斜率k=1時(shí)，直線l的方程為y=x-2， 同理求得M(3,1)，則半徑為r=丨MP丨=10， ∴圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10， 綜上可知：直線l的方程為y=-2x+4，圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516 或直線l的方程為y=x-2，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10． (1)方法一：分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得A和B的坐標(biāo)，由OA?OB=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；當(dāng)直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的可得OA?OB=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； 方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得OA?OB=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)由題意可知：AP?BP=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程． 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 19. 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8． (1)求l的方程； (2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． （正確答案）解：(1)方法一：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足； 設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-1)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)， 則y2=4xy=k(x-1)，整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，則x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p=2(k2+2)k2+2=8，解得：k2=1，則k=1， ∴直線l的方程y=x-，； 方法二：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長(zhǎng)公式|AB|=2psin2θ=4sin2θ=8，解得：sin2θ=12， ∴θ=π4，則直線的斜率k=1， ∴直線l的方程y=x-1； (2)過(guò)A，B分別向準(zhǔn)線x=-1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，過(guò)D作DD1⊥準(zhǔn)線l，垂足為D，則|DD1|=12(|AA1|+|BB1|) 由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4， 以AB為直徑的圓與x=-1相切，且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D， 由(1)可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2-2=4， 則D(3,2)， 過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.. (1)方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程； 方法二：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|=2psin2θ，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程； (2)根據(jù)過(guò)A，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程． 本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題．