2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修1 -1.doc

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3.3.2　函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解極值的概念、理解極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．(難點(diǎn))2.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟，能熟練地求函數(shù)的極值．(重點(diǎn))3.會(huì)根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的值．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．極小值點(diǎn)與極小值 若函數(shù)f(x)滿足： (1)在x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值f(x)≥f(a)； (2)f′(a)＝0； (3)在x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，在x＝a附近的右側(cè)f′(x)>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值． 2．極大值點(diǎn)與極大值 若函數(shù)f(x)滿足： (1)在x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值f(x)≤f(b)； (2)f′(b)＝0； (3)在x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，在x＝b附近的右側(cè)f′(x)<0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值． 思考：(1)區(qū)間[a，b]的端點(diǎn)a，b能作為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)嗎？ (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)存在一點(diǎn)c，滿足f′(c)＝0，則x＝c是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)嗎？ [提示]　(1)不能，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)只能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)． (2)不一定，若在點(diǎn)c的左右兩側(cè)f′(x)符號(hào)相同，則x＝c不是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，若在點(diǎn)c的左右兩側(cè)f′(x)的符號(hào)不同，則x＝c是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)． 3．極值的定義 (1)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)． (2)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值． 4．求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)， (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)． (　　) (2)函數(shù)的極大值一定大于極小值． (　　) (3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合． (　　) (4)函數(shù)f(x)＝有極值． (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4) 2．函數(shù)y＝x3＋1的極大值是(　　) A．1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．不存在 D　[y′＝3x2≥0，則函數(shù)y＝x3＋1在R上是增函數(shù)，不存在極大值．] 3．若x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn)則有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792153】 A．a(chǎn)＝－2，b＝4 B．a(chǎn)＝－3，b＝－24 C．a(chǎn)＝1，b＝3 D．a(chǎn)＝2，b＝－4 B　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的兩個(gè)根，所以有－＝－2＋4，＝－24，解得a＝－3，b＝－24.] [合 作 探 究攻 重 難] 求函數(shù)的極值 　(1)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖338所示，則函數(shù)f(x)的極小值是(　　) 圖338 A．a(chǎn)＋b＋c　　　 B．3a＋4b＋c C．3a＋2b D．c (2)求下列函數(shù)的極值： ①f(x)＝x3－x2－3x＋3； ②f(x)＝－2. [解析]　(1)由f′(x)的圖象知，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0， 當(dāng)00，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)<0 因此當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值，且f(0)＝c，故選D. [答案] D (2)①函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝x2－2x－3. 令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值－6 ↗ ∴x＝－1是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)，且f(x)極大值＝，f(x)極小值＝－6. ②函數(shù)的定義域?yàn)镽， f′(x)＝＝－. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 極小值－3 ↗ 極大值－1 ↘ 由表可以看出： 當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值，且f(－1)＝－2＝－3； 當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值，且f(1)＝－2＝－1. [規(guī)律方法]　函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟 (1)確定函數(shù)的定義域. (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況． 提醒：當(dāng)實(shí)數(shù)根較多時(shí)，要充分利用表格，使極值點(diǎn)的確定一目了然． [跟蹤訓(xùn)練] 1．求下列函數(shù)的極值． (1)f(x)＝2x＋； (2)f(x)＝＋3ln x. [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝2x＋， 所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}， f′(x)＝2－， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值－8 ↘ ↘ 極小值8 ↗ 因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極大值－8； 當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值8. (2)函數(shù)f(x)＝＋3ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值3 ↗ 因此，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值3，無(wú)極大值. 已知函數(shù)的極值求參數(shù)范圍(值) 　已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792154】 [思路探究]　f(x)在x＝－1處有極值0有兩方面的含義：一方面x＝－1為極值點(diǎn)，另一方面極值為0，由此可得f′(－1)＝0，f(－1)＝0. [解]　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b且函數(shù)f(x)在x＝－1處有極值0， ∴即 解得或 當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此時(shí)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去． 當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f′(x)＜0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)． 故f(x)在x＝－1處取得極小值． ∴a＝2，b＝9. [規(guī)律方法]　已知函數(shù)的極值情況求 參數(shù)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解． (2)驗(yàn)證：因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0不一定此點(diǎn)就是極值點(diǎn)，故利用上述方程組解出的解必須驗(yàn)證． [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1時(shí)有極值10，則a，b的值為(　　) A．a(chǎn)＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11 B．a(chǎn)＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11 C．a(chǎn)＝－4，b＝11 D．以上都不對(duì) C　[f′(x)＝3x2－2ax－b.由題意知 解得或 當(dāng)a＝3，b＝－3時(shí)，f′(x)＝3(x＋1)2≥0，不合題意，故a＝－4，b＝11.] (2)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax－1有極值點(diǎn)，求a的取值范圍． [解]　f′(x)＝x2－2x＋a，由題意，方程x2－2x＋a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.所以a的取值范圍為(－∞，1)． 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．如何畫三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的大致圖象？ 提示：求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值，根據(jù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性畫出函數(shù)的大致圖象． 2．三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c(a≠0)的圖象和x軸一定有三個(gè)交點(diǎn)嗎？ 提示：不一定，三次函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和函數(shù)極值的大小有關(guān)，可能有一個(gè)也可能有兩個(gè)或三個(gè)． 　已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a (1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫出其圖象(草圖) (2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程f(x)＝0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． [思路探究]　(1)求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和極值，結(jié)合函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性畫出函數(shù)的圖象． (2)當(dāng)極大值或極小值恰好有一個(gè)為0時(shí)，方程f(x)＝0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． [解]　(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a， 得f′(x)＝－3x2＋3, 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0. 所以函數(shù)f(x)的極小值為f(－1)＝a－2；極大值為f(1)＝a＋2. 由單調(diào)性、極值可畫出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示， (2)結(jié)合圖象，當(dāng)極大值a＋2＝0時(shí)，有極小值小于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a＝－2滿足條件；當(dāng)極小值a－2＝0時(shí)，有極大值大于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a＝2滿足條件． 綜上，當(dāng)a＝2時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 母題探究：1.本例中條件不變，試求當(dāng)a為何值時(shí)，方程f(x)＝0有三個(gè)不等實(shí)根． [解]　由例題解析知，當(dāng)即－2或x<－時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)－0，∴x＝－4時(shí)，y取到極小值－131，x＝4時(shí)，y取到極大值125.] 4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， ∵函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值， ∴方程f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根． ∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0. 即a2－a－2＞0，解之得a＞2或a＜－1.] 5．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值. (1)求a，b的值． (2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792155】 [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋bln x， 所以f′(x)＝2ax＋. 又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值. 故即 解得a＝，b＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x. 其定義域?yàn)?0，＋∞)． 且f′(x)＝x－＝. 令f′(x)＝0，則x＝－1(舍去)或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)，且函數(shù)在定義域上只有極小值f(1)＝，無(wú)極大值．