2018-2019高中數學 第二講 證明不等式的基本方法 2.1 比較法學案 新人教A版選修4-5.docx

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2.1 比較法 預習案 一、預習目標及范圍 1．理解比較法證明不等式的依據． 2．掌握利用比較法證明不等式的一般步驟． 3．通過學習比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉化思想的理解和應用． 二、預習要點 教材整理1　作差比較法 1．理論依據：①a＞b? ；②a＝b?a－b＝0；③a＜b? . 2．定義：要證明a＞b，轉化為證明 ，這種方法稱為作差比較法． 3．步驟：① ；②變形；③ ；④下結論． 教材整理2　作商比較法 1．理論依據：當b＞0時，①a＞b? ；②a＜b?＜1；③a＝b?＝1. 2．定義：證明a＞b(b＞0)，只要轉化為證明 ，這種方法稱為作商比較法． 3．步驟：①作商；②變形；③判斷商與1大??；④下結論． 三、預習檢測 1.若x，y∈R，記ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，則(　　) A．ω＞u B．ω＜u C．ω≥u D.無法確定 2.下列命題： ①當b＞0時，a＞b?＞1；②當b＞0時，a＜b?＜1； ③當a＞0，b＞0時，＞1?a＞b；④當ab＞0時，＞1?a＞b. 其中真命題是(　　) A．①②③ B．①②④ C．④ D.①②③④ 3．設a＞b＞0，x＝－，y＝－，則x，y的大小關系是x________y. 探究案 一、合作探究 題型一、作商比較法證明不等式 例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求證：aabb＞(ab). 【精彩點撥】→→→ [再練一題] 1．已知m，n∈R＋，求證：≥. 題型二、比較法的實際應用 例2　甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達指定地點？ 【精彩點撥】　設從出發(fā)地點至指定地點的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1, t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了． [再練一題] 2．通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，試問：截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大？ 題型三、作差比較法 例3已知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 【精彩點撥】　此不等式作差后是含有兩個字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根據二次三項式的判別式確定符號． [再練一題] 3．已知a＞b＞c，證明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 二、隨堂檢測 1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是(　　) A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不確定 3．設a，b，m均為正數，且＜，則a與b的大小關系是________． 參考答案 預習檢測： 1.【解析】　∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u. 【答案】　C 2.【解析】　由不等式的性質，①②③正確．當ab＞0時(若b＜0，a＜0)，＞1與a＞b不等價，④錯． 【答案】　A 3.【解析】　∵＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0， ∴x＜y. 【答案】?。? 隨堂檢測： 1.【解析】　s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0， ∴s≥t. 【答案】　D 2.【解析】　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga. 當0＜a＜1時，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜＜1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 當a＞1時，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 綜上總有P＞Q，故選A. 【答案】　A 3. 【解析】?。剑?. 又a，b，m為正數， ∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0. 即a＞b. 【答案】　a＞b