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2、 1
十、解析幾何(B組)
大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)！ 姓名：________ 班級(jí)：________
1．已知圓E：x2＋2＝經(jīng)過(guò)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1、F2，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且F1，E，A三點(diǎn)共線．直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且＝λ(λ≠0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)△AMN的面積最大時(shí)，求直線l的方
3、程．
解：(1)∵F1，E，A三點(diǎn)共線，∴F1A為圓E的直徑，
∴AF2⊥F1F2.
由x2＋2＝，得x＝±，
∴c＝，∴|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，|AF2|＝1，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，
∵a2＝b2＋c2，∴b＝，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
(2)易知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，
∵＝λ(λ≠0)，
∴直線l的斜率為，
故設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，
聯(lián)立
消去y，得x2＋mx＋m2－2＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，
由Δ＝2m2－4m2＋8>0，得－2<
4、m<2.
|MN|＝|x2－x1|
＝
＝，
點(diǎn)A到直線l的距離d＝，
∴S△AMN＝|MN|·d
＝×|m|
＝≤·＝，
當(dāng)且僅當(dāng)4－m2＝m2，即m＝±時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)直線l的方程為y＝x±.
2．(20xx·遼寧東北育才學(xué)校五模)如圖，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|OF|＝，過(guò)F作OF的垂線交橢圓于P0，Q0兩點(diǎn)，△OP0Q0的面積為.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與上、下半橢圓分別交于點(diǎn)P、Q，與x軸交于點(diǎn)M，且|PM|＝2|MQ|，求△OPQ的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．
解：(1)由題意可得c＝，設(shè)P0(x0，
5、y0)，
將x0＝c代入橢圓方程可得
y0＝±b＝±，
即有△OP0Q0的面積為|P0Q0|·c＝，
即··＝，又a2－b2＝5，
∴a＝3，b＝2，
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)M(t,0)，且<1.
設(shè)直線PQ：x＝my＋t，代入橢圓方程，
可得(4m2＋9)y2＋8mty＋4t2－36＝0，
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝<0，①
由|PM|＝2|MQ|，可得＝2，
即有－y1＝2y2，代入①可得，
t2＝，即有m2＝，即有1
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