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小題專練作業(yè)(五) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.函數(shù)f(x)=tan的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 由kπ-<2x-
0,函數(shù)y=cos的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)y=sinωx的圖象重合,則ω的最小值為( )
A. B.
C. D.
解析 函數(shù)y=cos的圖象向右平移個單位長度后,所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為y=cos=cos,其圖象與函數(shù)y=sinωx=cos,k∈Z的圖象重合,所以-+2kπ=-+,k∈Z,所以ω=-6k+,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值為。故選B。
答案 B
6.(2018西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=時取得最小值,則f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
解析 因為0<θ<π,所以<+θ<,又f(x)=cos(x+θ)在x=時取得最小值,所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos。由0≤x≤π,得≤x+≤。由π≤x+≤,得≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是。故選A。
答案 A
7.將函數(shù)f(x)=3sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再向右平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)的解析式為________。
解析 將函數(shù)f(x)=3sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,可得函數(shù)y=3sin的圖象,再向右平移個單位長度,可得函數(shù)y=3sin=3sin的圖象,故g(x)=3sin。
答案 g(x)=3sin
8.(2018全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]的零點個數(shù)為________。
解析 因為0≤x≤π,所以≤3x+≤,由題可知3x+=,或3x+=,或3x+=。解得x=或或。故有3個零點。
答案 3
9.(2018滄州質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=2cosxsin-sin2x+sinxcosx在x∈時的最大值與最小值之和為________。
解析 f(x)=2cosx-sin2x+sinxcosx=sinxcosx+cos2x-sin2x+sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin,因為x∈,所以2x+∈,函數(shù)的最大值為2sin=2,函數(shù)的最小值為2sin=-1,最大值和最小值之和為2-1=1。
答案 1
10.若函數(shù)f(x)=cos(0<φ<π)是奇函數(shù),則φ=________。
解析 因為f(x)為奇函數(shù),所以φ-=+kπ,φ=+kπ,k∈Z。又因為0<φ<π,故φ=。
答案
11.(2018北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ω>0)。若f(x)≤f對任意的實數(shù)x都成立,則ω的最小值為________。
解析 由于對任意的實數(shù)都有f(x)≤f成立,故當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)有最大值,故f=1,-=2kπ(k∈Z),所以ω=8k+(k∈Z),又ω>0,所以ωmin=。
答案
12.(2018成都診斷)設(shè)函數(shù)f(x)=sin,若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,則|x2-x1|的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析 f(x1)+f(x2)=0?f(x1)=-f(x2),|x2-x1|可視為直線y=m與函數(shù)y=f(x)、函數(shù)y=-f(x)的圖象的交點的距離,作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象如圖所示,設(shè)A,B分別為直線y=m與函數(shù)y=f(x)、函數(shù)y=-f(x)的圖象的兩個相鄰交點,因為x1x2<0,且當(dāng)直線y=m過y=f(x)的圖象與y軸的交點時,直線為y=,|AB|=,所以當(dāng)直線y=m向上移動時,線段AB的長度會增加,當(dāng)直線y=m向下移動時,線段AB的長度也會增加,所以|x2-x1|>。故選B。
答案 B
13.(2018湖北模擬)已知函數(shù)f(x)=2sinωxcos2-sin2ωx(ω>0)在區(qū)間上是增函數(shù),且在區(qū)間[0,π]上恰好取得一次最大值,則ω的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析 f(x)=sinωx(1+sinωx)-sin2ωx=sinωx在區(qū)間上是增函數(shù),所以?,所以得不等式組?ω≤,又因為ω>0,所以0<ω≤;又函數(shù)在x=+,k∈Z處取得最大值,可得0≤≤π,所以ω≥,綜上可知ω∈。故選B。
答案 B
14.已知函數(shù)f(x)=x3+sinx,若α∈[0,π],β∈,且f=f(2β),則cos=________。
解析 α∈[0,π],-α∈,β∈,2β∈,f(x)=x3+sinx為奇函數(shù),又f′(x)=3x2+cosx,x∈時,f′(x)=3x2+cosx≥0,故x∈時,f(x)=x3+sinx單調(diào)遞增。由于f=f(2β),從而-α=2β,即α+2β=,因此cos=cos=。
答案
15.已知x1,x2是函數(shù)f(x)=2sin2x+cos2x-m在上的兩個零點,則sin(x1+x2)=________。
解析 f(x)=2sin2x+cos2x-m=sin(2x+φ)-m,其中cosφ=,sinφ=。由函數(shù)f(x)在上有兩個零點,知方程sin(2x+φ)-m=0在上有兩個根,即函數(shù)y=m與y=sin(2x+φ)的圖象在內(nèi)有兩個交點,又x∈,所以2x+φ∈[φ,π+φ],則x1,x2關(guān)于直線2x+φ=,即x=-對稱,所以x1+x2=-φ,所以sin(x1+x2)=sin=cosφ=。
答案
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