9、線與圓相交．]
2．若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．
[1，) [畫出圖像如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，B時(shí)，m＝1，此時(shí)直線l與曲線y＝有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，m＝，因此當(dāng)1≤m<時(shí)，直線l：x＋y＝m與曲線y＝有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．]
考點(diǎn)2 圓與圓的位置關(guān)系
幾何法判斷圓與圓的位置步驟
(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長．
(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論．
已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0
10、和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求證：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．
[解] (1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，
∴圓C1和圓C2相交．
(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.
圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為＝3，故公共弦長為2＝2.
11、 求兩圓公共弦長，常選其中一圓，由弦心距d，半弦
長，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．
1.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
B [由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(－a，a)．
∵圓M截直線所得線段長度為2，
∴＝2.又a>0，
∴a＝2.
∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，
圓心M(0,2)，半徑r1＝2.
又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，
∴|
12、MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．]
2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
C [圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因?yàn)閳AC2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．從而|C1C2|＝＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故選C.]
考點(diǎn)3 直線、圓的綜合問題
切線問題
過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)
13、為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程；當(dāng)斜率不存在時(shí)，要加以驗(yàn)證．
已知點(diǎn)P(＋1,2－)，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；
(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長．
[解] 由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴點(diǎn)P在圓C上．
又kPC＝＝－1，
∴切線的斜率k＝－＝1.
∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋
14、(1－2)2＝5＞4，
∴點(diǎn)M在圓C外部．
當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，
即x－3＝0.
又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，
即此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切線方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴過點(diǎn)M的圓C的切線長為＝＝1.
當(dāng)切線為x＝3時(shí)，切線長為1.
(1)圓的切線問題的
15、處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題；(2)過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．
由直線y＝x＋1上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C：(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為( )
A．1 B．2
C. D．3
C [如圖，切線長|PM|＝，顯然當(dāng)|PC|為C到直線y＝x＋1的距離即＝2時(shí)|PM|最小為，故選C.]
弦長問題
弦長的2種求法
(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的
16、關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長．
(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2.
(1)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)(2018·全國卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.
(1)B (2)2 [(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立
17、方程得得或∴|AB|＝2，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1,1)到直線y
＝kx＋3的距離d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選B.
(2)由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用
18、圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運(yùn)算．
提醒：對(duì)于已知弦長求直線方程的問題，常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤，如本例(1)．
(2019·太原一模)已知在圓x2＋y2－4x＋2y＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(1,0)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )
A．3 B．6
C．4 D．2
D [將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓心坐標(biāo)為F(2，－1)，半徑r＝，如圖，顯然過點(diǎn)E的最長弦為過點(diǎn)E的直徑，即|AC|＝2，而過點(diǎn)E的最短弦為垂直于EF的弦，
|EF|＝＝，
|BD|＝2＝2，∴S四邊形AB
19、CD＝|AC|×|BD|＝2.]
直線與圓的綜合問題
直線與圓的綜合問題的求解策略
(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決．
(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用．
已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．
(1)求圓C的方程；
(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
[解] (1)設(shè)圓心C(a
20、,0)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C：x2＋y2＝4.
(2)當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，x軸平分∠ANB.
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4，
所以當(dāng)點(diǎn)N為(4,0)時(shí)，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．
本例是探索性問題，求解的關(guān)鍵是把幾何問題代數(shù)化，即先把條件“x軸平分∠ANB”等價(jià)轉(zhuǎn)化
21、為“直線斜率的關(guān)系：kAN＝－kBN”，然后借助方程思想求解．
[教師備選例題]
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．
(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程．
[解] (1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6,7)，半徑r＝5，
由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x
22、－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可設(shè)l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又BC＝OA＝＝2.
由題意，圓M的圓心M(6,7)到直線l的距離為d＝＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直線l的方程為y＝2x＋5或y＝2x－15.]
已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.
[解] (1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.
因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，
所以<1，
解得
高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含解析
