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2018年秋高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何 3.2 立體幾何中的向量方法第3課時空間向量與空間角學案新人教A版選修2-1.doc

上傳人：tia****nde

文檔編號：6320567

上傳時間：2020-02-22

格式：DOC

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第3課時　空間向量與空間角學習目標：1.會用向量法求線線、線面、面面的夾角．(重點、難點)2.正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、面面角的關系．(易錯點) [自主預習探新知] 空間角的向量求法角的分類向量求法范圍兩異面直線l1與l2所成的角θ 設l1與l2的方向向量為a，b，則cos θ＝|cos|＝直線l與平面α所成的角θ 設l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos|＝二面角αlβ的平面角θ 設平面α，β的法向量為n1，n2，則|cos θ|＝|cos|＝ [0，π] 思考：(1)直線與平面所成的角和直線的方向向量與平面的法向量所成的角有怎樣的關系？ (2)二面角與二面角的兩個半平面的法向量所成的角有怎樣的關系？ [提示]　(1)設n為平面α的一個法向量，a為直線a的方向向量，直線a與平面α所成的角為θ，則 θ＝ (2) 條件平面α，β的法向量分別為u，υ，α，β所構成的二面角的大小為θ，〈u，υ〉＝φ，圖形關系 θ＝φ θ＝π－φ 計算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ [基礎自測] 1．思考辨析 (1)直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值等于直線與平面所成角的正弦值．(　　) (2)兩條異面直線所成的角，不可能為鈍角．(　　) (3)二面角的余弦值等于二面角的兩個半平面的法向量所成角的余弦值．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　) A．30　 B．60　　　C．150　　　D．120 B　[設l與α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60，應選B．] 3．長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，則異面直線AC與BC1所成角的余弦值為________. 【導學號：46342174】　[如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)． ∴＝(1,1,0)，＝(0,1,3)， cos〈，〉＝＝＝＝. 綜上，異面直線AC與BC1所成角的余弦值為.] [合作探究攻重難] 求兩條異面直線所成的角　如圖3220，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60，∠AOB＝90，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大?。? 圖3220 [解]　建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)， ∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)． ∴|cos〈，〉＝＝＝. ∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為. [規(guī)律方法]　1.幾何法求異面直線的夾角時，需要通過作平行線將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面角，再解三角形來求解，過程相當復雜；用向量法求異面直線的夾角，可以避免復雜的幾何作圖和論證過程，只需對相應向量進行運算即可． 2．由于兩異面直線夾角θ的范圍是，而兩向量夾角α的范圍是[0，π]，故應有cos θ＝|cos α|，求解時要特別注意． [跟蹤訓練] 1．已知四棱錐SABCD的底面是正方形且側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的余弦值為(　　) A．　 B．　　　C．　　　D． C　[依題意，建立坐標系如圖所示，設四棱錐SABCD的棱長為，則A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)， ∴E點坐標為，＝，＝(－1,0，－1)， ∴cos〈，〉＝＝－，故異面直線所成角的余弦值為.故選C．] 求直線與平面所成的角　如圖3221，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．圖3221 (1)證明MN∥平面PAB； (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值. 【導學號：46342175】 [思路探究]　(1)線面平行的判定定理?MN∥平面PAB． (2)利用空間向量計算平面PMN與AN方向向量的夾角?直線AN與平面PMN所成角的正弦值． [解]　(1)證明：由已知得AM＝AD＝2. 如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC的中點知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB． (2)如圖，取BC的中點E，連接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，從而AE⊥AD，且AE＝＝＝. 以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz. 由題意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝. 設n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，〉|＝＝. 所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為. [規(guī)律方法]　若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計算θ的步驟如下： [跟蹤訓練] 2.如圖3222，在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝. 圖3222 (1)求證：PD⊥平面PAB． (2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值． (3)在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由． [解]　(1)證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因為PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB． (2)取AD的中點O，連接PO，CO. 因為PA＝PD，所以PO⊥AD．又因為PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因為CO?平面ABCD，所以PO⊥CO. 因為AC＝CD，所以CO⊥AD．如圖，建立空間直角坐標系Oxyz. 由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令z＝2，則x＝1，y＝－2. 所以n＝(1，－2,2)．又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－. 所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為. (3)設M是棱PA上一點，則存在λ∈[0,1]使得＝λ. 因此點M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．因為BM?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD當且僅當n＝0，即(－1，－λ，λ)(1，－2,2)＝0. 解得λ＝.所以在棱PA上存在點M使得BM∥平面PCD，此時＝. 求二面角 [探究問題] 1．建立空間直角坐標系時，如何尋找共點的兩兩垂直的三條直線？提示：應充分利用題目給出的條件，如線面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出適當?shù)妮o助線然后證明它們兩兩垂直，再建系． 2．如何確定二面角與兩個平面的法向量所成角的大小關系？提示：法一：觀察法，通過觀察圖形，觀察二面角是大于，還是小于. 法二：在二面角所含的區(qū)域內(nèi)取一點P，平移兩個平面的法向量，使它們的起點為P，然后觀察法向量的方向，若兩個法向量同時指向平面內(nèi)側或同時指向外側，則二面角與法向量的夾角互補，若兩個法向量方向相反，則二面角與法向量的夾角相等．　如圖3223，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90. 圖3223 (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90，求二面角APBC的余弦值. 【導學號：46342176】 [思路探究]　(1)先證線面垂直，再證面面垂直； (2)建立空間直角坐標系，利用向量法求解． [解]　(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90，得AB⊥AP，CD⊥PD．因為AB∥CD，所以AB⊥PD．又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．因為AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD． (2)在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD，垂足為點F. 由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．以F為坐標原點，的方向為x軸正方向，||為單位長度建立如圖所示的空間直角坐標系Fxyz. 由(1)及已知可得A，P，B，C，所以＝，＝(，0,0)，＝，＝(0,1,0)．設n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一個法向量，則即所以可取n＝(0，－1，－)．設m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一個法向量，則即所以可取m＝(1,0,1)，則cos〈n，m〉＝＝＝－. 所以二面角APBC的余弦值為－. [規(guī)律方法]　利用向量法求二面角的步驟 (1)建立空間直角坐標系； (2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量； (3)求兩個法向量的夾角； (4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角； (5)確定二面角的大?。? [跟蹤訓練] 3．如圖3224，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，G是的中點．圖3224 (1)設P是上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大??； (2)當AB＝3，AD＝2時，求二面角EAGC的大?。? [解]　(1)因為AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP?平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120，所以∠CBP＝30. (2)以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．設m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一個法向量，由可得取z1＝2，可得平面AEG的一個法向量m＝(3，－，2)．設n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一個法向量，由可得取z2＝－2，可得平面ACG的一個法向量n＝(3，－，－2)．所以cos〈m，n〉＝＝. 故所求的角為60. [當堂達標固雙基] 1.如圖3225，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) 圖3225 A．　　　　 B． C． D． D　[以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz(圖略)，設AB＝1. 則B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)， cos〈，〉＝＝＝－， ∴異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.] 2．正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(　　) 【導學號：46342177】 A．　 B．　　　C．　　　D． B　[設正方體的棱長為1，依題意，建立如圖所示的坐標系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1) ∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0) 設平面ACD的法向量為n＝(x，y，z) ∴令x＝1，∴n＝(1,1,1)，又∵＝(0,0,1)， ∴BB1與平面ACD1所成角的正弦值為＝.] 3．正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 B　[如圖所示，建立空間直角坐標系，設PA＝AB＝1.則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．取PD中點為E，則E，∴＝，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos<，>＝， ∴平面PAB與平面PCD的夾角為45.] 4．在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，－1,3)，(2,2,4)，則這個二面角的余弦值為________．　[設a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)，則cos〈a，b〉＝＝，又因為兩向量的夾角與二面角相等或互補，所以這個二面角的余弦值為.] 5．如圖3226，在三棱錐PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ＝2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH. 【導學號：46342178】圖3226 (1)求證：AB∥GH； (2)求二面角DGHE的余弦值． [解]　(1)證明：因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC．又因為EF?平面PCD，DC?平面PCD，所以EF∥平面PCD．又因為EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又因為EF∥AB，所以AB∥GH. (2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90.又因為PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直．以點B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設BA＝BP＝BQ＝2，則E(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．設平面EFQ的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)，由m＝0，m＝0，得取y1＝1，得m＝(0,1,2)．設平面PDC的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n＝0，n＝0，得取z2＝1，得n＝(0,2,1)．所以cos〈m，n〉＝＝. 因為二面角DGHE為鈍角，所以二面角DGHE的余弦值為－.

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