2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.2 綜合法和分析法教案 新人教A版選修4-5.docx

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2.2綜合法和分析法 一、教學(xué)目標(biāo) 1．了解綜合法與分析法證明不等式的思考過(guò)程與特點(diǎn)． 2．會(huì)用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式． 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 了解綜合法與分析法證明不等式的思考過(guò)程與特點(diǎn)． 四、教學(xué)難點(diǎn) 會(huì)用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單的不等式． 五、教學(xué)過(guò)程 （一）導(dǎo)入新課 已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求證：c－＜a. 【證明】　要證c－＜a， 只需證明c＜a＋， 即證b－a＜2， 當(dāng)b－a＜0時(shí)，顯然成立； 當(dāng)b－a≥0時(shí)，只需證明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab， 即證(a＋b)2＜4c2， 由2c＞a＋b知上式成立． 所以原不等式成立． （二）講授新課 教材整理1　綜合法 一般地，從 出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做 ，又叫或 ． 教材整理2　分析法 證明命題時(shí)，我們還常常從要證的 出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為 或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做 ，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法． （三）重難點(diǎn)精講 題型一、用綜合法證明不等式 例1已知a，b，c是正數(shù)，求證： ≥abc. 【精彩點(diǎn)撥】　由a，b，c是正數(shù)，聯(lián)想去分母，轉(zhuǎn)化證明b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，利用x2＋y2≥2xy可證．或?qū)⒃坏仁阶冃螢椋輆＋b＋c后，再進(jìn)行證明． 【自主解答】　法一　∵a，b，c是正數(shù)， ∴b2c2＋c2a2≥2abc2，b2c2＋a2b2≥2ab2c，c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(b2c2＋c2a2＋a2b2)≥2(abc2＋ab2c＋a2bc)， 即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 又a＋b＋c＞0， ∴≥abc. 法二　∵a，b，c是正數(shù)， ∴＋≥2＝2c. 同理＋≥2a，＋≥2b， ∴2≥2(a＋b＋c)． 又a＞0, b＞0，c＞0， ∴b2c2＋a2c2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 故≥abc. 規(guī)律總結(jié)： 1．綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間、不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式(切入點(diǎn))，這是證明的關(guān)鍵． 2．綜合法證明不等式的主要依據(jù)：(1)不等式的基本性質(zhì)；(2)基本不等式及其變形；(3)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式等． [再練一題] 1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝2. 求證：(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8. 【證明】　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴1＋a≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，取等號(hào)， 1＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時(shí)，取等號(hào)， 1＋c≥2，當(dāng)且僅當(dāng)c＝1時(shí)，取等號(hào)． ∵abc＝2， ∴a，b，c不能同時(shí)取1，∴“＝”不同時(shí)成立． ∴(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8＝8. 即(1＋a)(1＋b)(1＋c)＞8. 題型二、綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 例2設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求證：loga(ax＋by)＜＋loga2. 【精彩點(diǎn)撥】　要證的不等式為對(duì)數(shù)不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，先用分析法探路，轉(zhuǎn)化為要證明一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，然后再利用綜合法證明． 【自主解答】　由于0＜a＜1，則t＝logax(x＞0)為減函數(shù)． 欲證loga(ax＋ay)＜＋loga2，只需證ax＋ay＞2a. ∵y＋x2＝0,0＜a＜1， ∴x＋y＝x－x2＝－＋≤. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，(x＋y)max＝， ∴ax＋y≥a，≥a.① 又ax＋ay≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)取等號(hào)), ② ∴ax＋ay≥2a.③ 由于①，②等號(hào)不能同時(shí)成立， ∴③式等號(hào)不成立，即ax＋ay＞2a成立． 故原不等式loga(ax＋ay)＜＋loga2成立． 規(guī)律總結(jié)： 1．通過(guò)等式或不等式運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明．體現(xiàn)了分析法與綜合法之間互為前提、互相滲透、相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系． 2．函數(shù)與不等式綜合交匯，應(yīng)注意函數(shù)性質(zhì)在解題中的運(yùn)用． [再練一題] 2．已知a，b，c都是正數(shù)，求證：2≤3－. 【證明】　法一　要證2≤3－，只需證a＋b－2≤a＋b＋c－3， 即－2≤c－3， 移項(xiàng)，得c＋2≥3. 由a，b，c都為正數(shù)，得c＋2＝c＋＋≥3，∴原不等式成立． 法二　∵a，b，c都是正數(shù)， ∴c＋＋≥3＝3， 即c＋2≥3， 故－2≤c－3， ∴a＋b－2≤a＋b＋c－3， ∴2≤3. 題型三、分析法證明不等式 例3已知a＞b＞0，求證：＜－＜. 【精彩點(diǎn)撥】　本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜，不易觀察出怎樣由a＞b＞0得到要證明的不等式，因而可以用分析法先變形要證明的不等式，從中找到證題的線索． 【自主解答】　要證原不等式成立， 只需證＜a＋b－2＜， 即證＜(－)2＜. 只需證＜－＜， 即＜1＜， 即＜1＜. 只需證＜1＜. ∵a＞b＞0，∴＜1＜成立． ∴原不等式成立． 規(guī)律總結(jié)： 1．解答本題的關(guān)鍵是在不等式兩邊非負(fù)的條件下，利用不等式的開(kāi)方性質(zhì)尋找結(jié)論成立的充分條件，采用分析法是常用方法．證明過(guò)程一要注意格式規(guī)范，二要注意邏輯關(guān)系嚴(yán)密、準(zhǔn)確． 2．當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑．常常利用移項(xiàng)、去分母、平方、開(kāi)方等方法進(jìn)行分析探路． [再練一題] 3．已知a＞0，求證： －≥a＋－2. 【證明】　因?yàn)閍＞0，要證原不等式成立，只需證 ＋2≥a＋＋， 即證a2＋＋4＋4 ≥＋2＋2， 只需證≥a＋， 即證2≥a2＋＋2， 只需證a2＋≥2. 由基本不等式知a2＋≥2顯然成立， 所以原不等式成立． （四）歸納小結(jié) 綜合法與分析法— （五）隨堂檢測(cè) 1．已知a＜0，－1＜b＜0，則(　　) A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞a C．a(chǎn)b＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a 【解析】　∵－1＜b＜0， ∴1＞b2＞0＞b. 又a＜0，∴ab＞ab2＞a. 【答案】　D 2．下列三個(gè)不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a.其中能使＜成立的充分條件有(　　) A．①② B．①③ C．②③ D.①②③ 【解析】?、賏＜0＜b?＜；②b＜a＜0?＜；③b＜0＜a?＞.故選A. 【答案】　A 3．已知a，b∈(0，＋∞)，Ρ＝，Q＝，則P，Q的大小關(guān)系是________. 【解析】　∵a＋b≥， ∴≥. 【答案】　P≤Q 六、板書(shū)設(shè)計(jì) 2.2綜合法和分析法 教材整理1　綜合法 教材整理2　分析法 例1： 例2： 例3： 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí)：2.2綜合法和分析法 八、教學(xué)反思