2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
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二 一般形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解并掌握三維形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式,體會(huì)從特殊到一般的思維過(guò)程.3.會(huì)用三維形式及一般形式的柯西不等式解決一些特殊形式的問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一 三維形式的柯西不等式 思考1 類比平面向量,在空間向量中,如何用|α||β|≥|αβ|,推導(dǎo)三維形式的柯西不等式? 答案 設(shè)α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3), 則|α|=,|β|=. ∵|α||β|≥|αβ|, ∴≥|a1b1+a2b2+a3b3|, ∴(a+a+a)(b+b+b)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2. 思考2 三維形式的柯西不等式中,等號(hào)成立的條件是什么? 答案 當(dāng)且僅當(dāng)α,β共線時(shí),即β=0或存在實(shí)數(shù)k,使a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3時(shí),等號(hào)成立. 梳理 三維形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3是實(shí)數(shù),則(a+a+a)(b+b+b)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=b3=0或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,3)時(shí)等號(hào)成立. 知識(shí)點(diǎn)二 一般形式的柯西不等式 1.一般形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實(shí)數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2. 2.柯西不等式等號(hào)成立的條件 當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí)等號(hào)成立. 類型一 利用柯西不等式證明不等式 例1 設(shè)a,b,c為正數(shù),且不全相等. 求證:++>. 證明 構(gòu)造兩組數(shù),,; ,,,則由柯西不等式得 (a+b+b+c+c+a)≥(1+1+1)2, ① 即2(a+b+c)≥9, 于是++≥. 由柯西不等式知, ①中有等號(hào)成立?==?a+b=b+c=c+a?a=b=c. 因?yàn)轭}設(shè)中a,b,c不全相等,故①中等號(hào)不成立, 于是++>. 反思與感悟 有些問(wèn)題一般不具備直接應(yīng)用柯西不等式的條件,可以通過(guò): (1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以巧拆常數(shù). (2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以重新安排各項(xiàng)的次序. (3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以改變式子的結(jié)構(gòu),從而達(dá)到使用柯西不等式的目的. (4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件,可以添項(xiàng). 跟蹤訓(xùn)練1 已知a,b,c∈R+,求證≥9. 證明 由柯西不等式知, 左邊= ≥2 =(1+1+1)2=9, ∴原不等式成立. 例2 設(shè)a1,a2,…,an為正整數(shù),求證:++…+≥a1+a2+…+an. 證明 由柯西不等式,得 (a2+a3+…+a1) ≥2 =(a1+a2+…+an)2, 故++…+≥a1+a2+…+an. 反思與感悟 一般形式的柯西不等式往往看著比較復(fù)雜,這時(shí)一定要注意式子的結(jié)構(gòu)特征,一邊一定要出現(xiàn)“方、和、積”的形式. 跟蹤訓(xùn)練2 已知a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=1,求證:++…++≥. 證明 ∵2 =[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+a1)] ≥2 =(a1+a2+…+an)2=1, ∴++…+≥. 類型二 利用柯西不等式求函數(shù)的最值 例3 (1)若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=a(a為常數(shù)),則x2+y2+z2的最小值為_(kāi)_______. (2)已知0<x<1,0<y<1,則函數(shù)f(x)=+的最小值是________. 答案 (1) (2) 解析 (1)∵(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=a2,當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào),即14(x2+y2+z2)≥a2, ∴x2+y2+z2≥,即x2+y2+z2的最小值為. (2)+≥=, 故f(x)的最小值為. 反思與感悟 利用柯西不等式求最值時(shí),關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊,以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時(shí),要注意等號(hào)成立的條件. 跟蹤訓(xùn)練3 已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4. (1)求a+b+c的值; (2)求a2+b2+c2的最小值. 解 (1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí),等號(hào)成立. 又a>0,b>0, 所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值為a+b+c, 又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c=4. (2)由(1)知a+b+c=4, 由柯西不等式得 (4+9+1) ≥2 =(a+b+c)2=16, 即a2+b2+c2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)==, 即a=,b=,c=時(shí)等號(hào)成立, 故a2+b2+c2的最小值為. 1.已知x,y,z∈R+且x+y+z=2,則+2+的最大值為( ) A.2B.2C.4D.5 答案 C 解析 ∵(+2+)2=(1+2+)2≤[12+22+()2][()2+()2+()2] =8(x+y+z)=16 (當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=時(shí)取等號(hào)), ∴+2+≤4. 2.若a,b,c∈R+,且++=1,則a+2b+3c的最小值為( ) A.9B.3C.D.6 答案 A 解析 由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)≥(1+1+1)2=9, ∴a+2b+3c的最小值為9. 3.設(shè)a,b,c,d均為正實(shí)數(shù),則(a+b+c+d)的最小值為_(kāi)_______. 答案 16 解析 (a+b+c+d) =[()2+()2+()2+()2] ≥2 =(1+1+1+1)2=42=16, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)取等號(hào). 4.已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,求證:++≥. 證明 因?yàn)閤>0,y>0,z>0,所以由柯西不等式得[()2+()2+()2]≥(x+y+z)2,當(dāng)且僅當(dāng)==,即x=y(tǒng)=z=時(shí),等號(hào)成立, 所以++≥=. 1.柯西不等式的一般結(jié)構(gòu)為(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,在利用柯西不等式證明不等式時(shí)關(guān)鍵是正確構(gòu)造左邊的兩個(gè)數(shù)組,從而利用題目的條件正確解題. 2.要求ax+by+z的最大值,利用柯西不等式(ax+by+z)2≤(a2+b2+12)(x2+y2+z2)的形式,再結(jié)合已知條件進(jìn)行配湊,是常見(jiàn)的變形技巧.對(duì)于許多不等式問(wèn)題,用柯西不等式來(lái)解往往是簡(jiǎn)明的,正確理解柯西不等式,掌握它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),就能更靈活地應(yīng)用它. 一、選擇題 1.已知a+a+…+a=1,x+x+…+x=1,則a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析 (a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a+a+…+a)(x+x+…+x)=11=1, 當(dāng)且僅當(dāng)==…==1時(shí)取等號(hào). ∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1. 2.已知a2+b2+c2+d2=5,則ab+bc+cd+ad的最小值為( ) A.5 B.-5 C.25 D.-25 答案 B 解析 (ab+bc+cd+da)2≤(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)=25, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=時(shí),等號(hào)成立. ∴ab+bc+cd+ad的最小值為-5. 3.設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則等于( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由柯西不等式,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400, 當(dāng)且僅當(dāng)===時(shí)取等號(hào), 因此有=. 4.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,則++的最大值為( ) A.3 B.3 C.18 D.9 答案 B 解析 由柯西不等式,得(++)2 ≤(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1) =3[3(a+b+c)+3]. ∵a+b+c=1, ∴(++)2≤36=18, ∴++≤3, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號(hào)成立. 5.設(shè)a,b,c>0,且a+b+c=1,則++的最大值是( ) A.1 B. C.3 D.9 答案 B 6.已知x,y是實(shí)數(shù),則x2+y2+(1-x-y)2的最小值是( ) A.B.C.6D.3 答案 B 解析 ∵(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2] ≥[x+y+(1-x-y)]2=1, ∴x2+y2+(1-x-y)2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=時(shí)等號(hào)成立. 二、填空題 7.設(shè)a,b,c∈R+,若(a+b+c)≥25恒成立,則正數(shù)k的最小值是________. 答案 9 解析 因?yàn)?a+b+c)≥(1+1+)2=(2+)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí),等號(hào)成立,所以(a+b+c)的最小值是(2+)2.由(a+b+c)≥25恒成立,得(2+)2≥25.又k>0,所以k≥9,所以正數(shù)k的最小值是9. 8.設(shè)a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)的最小值是________. 答案 121 解析 (a+b+c) =[()2+()2+()2] ≥2 =(2+3+6)2=121. 當(dāng)且僅當(dāng)===k(k為正實(shí)數(shù))時(shí),等號(hào)成立. 9.已知a,b,c∈R+且a+b+c=6,則++的最大值為_(kāi)_______. 答案 4 解析 由柯西不等式,得(++)2 =(1+1+1)2 ≤(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3) =3(26+4)=48. 當(dāng)且僅當(dāng)==, 即2a=2b+1=2c+3時(shí)等號(hào)成立. 又a+b+c=6, ∴當(dāng)a=,b=,c=時(shí), ++取得最大值4. 10.設(shè)x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,則(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值為_(kāi)_______. 答案 9 解析 (22+22+12)[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2] ≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2 =(2x+2y+z-1)2=81, ∴(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9. 當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),取等號(hào). 三、解答題 11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a,又正數(shù)p,q,r滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3. 證明 因?yàn)閒(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 即函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a=3, 所以p+q+r=3. 由柯西不等式得 (p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9, 于是p2+q2+r2≥3. 12.設(shè)a1>a2>…>an>an+1,求證:++…++>0. 證明 為了運(yùn)用柯西不等式,我們將a1-an+1寫(xiě)成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),于是 [(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)] ≥n2>1. 即(a1-an+1)>1, 所以++…+>, 故++…++>0. 四、探究與拓展 13.邊長(zhǎng)為a,b,c的三角形ABC,其面積為,外接圓半徑為1,若s=++,t=++,則s與t的大小關(guān)系是________. 答案 s<t 解析 由已知得absinC=,=2R=2, 所以abc=1, 所以++=ab+bc+ca, 由柯西不等式得 (ab+bc+ca)≥(++)2, 所以2≥(++)2, 即++≥++. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立. 又當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí),面積S=≠, 故等號(hào)不成立. 故s<t. 14.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1. (1)若2x2+3y2+6z2=1,則x,y,z的值分別為_(kāi)_________; (2)若2x2+3y2+tz2≥1恒成立,則正數(shù)t的取值范圍為_(kāi)_________________. 答案 (1),, (2)[6,+∞) 解析 (1)∵(2x2+3y2+6z2)≥(x+y+z)2=1,當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),等號(hào)成立, ∴2x=3y=6z.又∵x+y+z=1, ∴x=,y=,z=. (2)∵(2x2+3y2+tz2)≥(x+y+z)2=1, 當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),等號(hào)成立, ∴(2x2+3y2+tz2)min=. ∵2x2+3y2+tz2≥1恒成立, ∴≥1. 又t>0,∴t≥6.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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