高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第一講 二 極坐標(biāo)系 Word版含答案

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1、 二極_坐_標(biāo)_系 　　　　　　　　　　 　 1．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM長(zhǎng)度，用θ表示射線Ox到OM的角度，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． (3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系 直角坐標(biāo) 極坐標(biāo)

2、 區(qū)別 點(diǎn)與直角坐標(biāo)是“一對(duì)一”的關(guān)系 由于終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即點(diǎn)的極角不惟一．因此點(diǎn)與極坐標(biāo)是“一對(duì)多”的關(guān)系 聯(lián)系 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)都是用來(lái)刻畫平面內(nèi)任意一點(diǎn)的位置的，它們都是一對(duì)有序的實(shí)數(shù) 2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 (1)互化的前提條件：①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位． (2)互化公式，. 　　　　　　　　　　　　 點(diǎn)的極坐標(biāo) [例1]　已知點(diǎn)Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)． (1)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)； (2)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線θ＝的對(duì)稱點(diǎn)．

3、 [思路點(diǎn)撥]　確定一點(diǎn)的極坐標(biāo)關(guān)鍵是確定它的極徑和極角兩個(gè)量，為此應(yīng)明確它們的含義． [解]　(1)由于P，Q關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，得極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)． (2)由P、Q關(guān)于直線θ＝對(duì)稱， 得它們的極徑|OP|＝|OQ|， 點(diǎn)P的極角θ′滿足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)． 設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的

4、極坐標(biāo)是(ρ，－θ)；M點(diǎn)關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)． 另外要注意，平面上的點(diǎn)與這一點(diǎn)的極坐標(biāo)不是一一對(duì)應(yīng)的． 1．在極坐標(biāo)系中，畫出點(diǎn)A，B，C. 解：如圖所示． 2．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是，求點(diǎn)A關(guān)于直線θ＝的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π])． 解：作出圖形，可知A(3，)關(guān)于直線θ＝的對(duì)稱點(diǎn)是. 點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 [例2]　(1)把點(diǎn)A的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)； (2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(1，－)化成極坐標(biāo)．(ρ>0，0≤θ<2π)． [思路點(diǎn)撥]　依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

5、互化的公式解題． [解]　(1)x＝2cos＝－， y＝2sin＝－1， 故點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(－，－1)． (2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－. 又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝. 因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是. (1)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件有三，即極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，有相同的長(zhǎng)度單位，三者缺一不可． (2)熟記互化公式，必要時(shí)可畫圖來(lái)分析． 3．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：點(diǎn)P(－，)在第二象限，與原點(diǎn)的距離為2，且與極軸夾角為. 答案：B 4．若以極

6、點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系． (1)已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)(4，)，求它的直角坐標(biāo)； (2)已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2，－2)和(0，－15)，求它們的極坐標(biāo)．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解：(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos＝2. y＝ρsin θ＝4sin＝－2. ∴A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，－2)． (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－1.且點(diǎn)B位于第四象限內(nèi)， ∴θ＝，∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(2，)． 又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝π. ∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為. 　　　　　　　　　 　　　 一、選擇題 1．在極坐標(biāo)平

7、面內(nèi)，點(diǎn)M，N，G，H中互相重合的兩個(gè)點(diǎn)是(　　) A．M和N　　　　　　　 B．M和G C．M和H D．N和H 解析：由極坐標(biāo)的定義知，M、N表示同一個(gè)點(diǎn)． 答案：A 2．將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(　　) A．(5,5) B．(5，5) C．(5,5) D．(－5，－5) 解析：x＝ρcos θ＝10×cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5. 答案：A 3．在極坐標(biāo)系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是兩點(diǎn)M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：前者

8、顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因?yàn)棣?與θ2可相差2π的整數(shù)倍． 答案：A 4．已知A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和，則線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(　　) A. B. C. D. 解析：AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)為，根據(jù)互化公式x＝ρcos θ＝cos ＝－，y＝ρsin θ＝sin ＝－，因此，所求直角坐標(biāo)為. 答案：B 二、填空題 5．點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為_(kāi)_______． 解析：如圖，易知對(duì)稱點(diǎn)為. 答案： 6．在極坐標(biāo)系中，已知A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________. 解析：|AB|＝＝. 答案： 7．直線l過(guò)點(diǎn)A，B，則直線l與極軸夾角等于______

9、__． 解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大小． 因?yàn)閨AO|＝|BO|＝3， ∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝， 所以∠ACO＝π－－＝. 答案： 三、解答題 8．在極軸上求與點(diǎn)A的距離為5的點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：設(shè)M(r,0)， 因?yàn)锳， 所以 ＝5， 即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)． 9．(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B， C，D，求它們的直角坐標(biāo)． (2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B， C，求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ＜2π

10、)． 解：(1)根據(jù)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A， B(－1，)，C，D(0，－4)． (2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A， B，C. 10．已知定點(diǎn)P. (1)將極點(diǎn)移至O′處極軸方向不變，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)； (2)極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)． 解：(1)設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝， ∴∠POO′＝. 在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵＝， ∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝. ∴∠OP′P＝π－－＝， ∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝. ∴P點(diǎn)的新坐標(biāo)為. (2)如圖，設(shè)P點(diǎn)新坐標(biāo)為(ρ，θ)， 則ρ＝4，θ＝＋＝. ∴P點(diǎn)的新坐標(biāo)為. 最新精品資料