2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題45 直線與方程.doc

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專題45 直線與方程 【熱點聚焦與擴展】 高考對直線與方程的考查要求較低，以小題的形式考查直線與方程，一般難度不大，但呈現(xiàn)綜合性較強的趨勢，與充要條件、基本不等式、導數(shù)等相結(jié)合.較多年份在大題中與其它知識綜合考查.要求考生熟練掌握直線方程的基礎(chǔ)知識，熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、點到直線的距離、平行直線間的距離等.其中兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用，是高考的熱點，另外，兩直線的位置關(guān)系與向量的結(jié)合，也應(yīng)予以足夠的重視．本專題通過例題說明關(guān)于直線問題的解法與技巧. （一）直線與方程： 1、傾斜角：若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示 （1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為 （2）傾斜角的取值范圍 2、斜率：設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為 （1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的 （2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率 （3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系） （4）越大，直線越陡峭 （5）斜率的求法：已知直線上任意兩點，則，即直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān). 3、截距：若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距 （1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)） （2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線 4、直線方程的五種形式：首先在直角坐標系中確定一條直線有兩種方法：一種是已知直線上一點與直線的方向（即斜率），另一種是已知兩點（兩點確定一條直線），直線方程的形式與這兩種方法有關(guān) （1）一點一方向： ① 點斜式：已知直線的斜率，直線上一點，則直線的方程為： 證明：設(shè)直線上任意一點，根據(jù)斜率計算公式可得：，所以直線上的每一點都應(yīng)滿足：，即為直線方程 ② 斜截式：已知直線的斜率，縱截距，則直線的方程為： 證明：由縱截距為可得直線與軸交點為，從而利用點斜式得： 化簡可得： （2）兩點確定一條直線： ③ 兩點式：已知直線上的兩點，則直線的方程為： ④ 截距式：若直線的橫縱截距分別為，則直線的方程為： 證明：從已知截距可得：直線上兩點，所以 ⑤ 一般式：由前幾類直線方程可知：直線方程通常由的一次項與常數(shù)項構(gòu)成，所以可將直線的通式寫為：（不同時為0），此形式稱為直線的一般式 一般式方程的作用：可作為直線方程的最終結(jié)果 可用于判定直線的平行垂直關(guān)系 點到直線距離公式與平行線間距離公式需要用直線的一般式 5、五種直線形式所不能表示的直線： （1）點斜式，斜截式：與斜率相關(guān)，所以無法表示斜率不存在的直線（即豎直線） （2）截距式：① 截距不全的直線：水平線，豎直線 ② 截距為0的直線：過原點的直線 6、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種： （1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率 （2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致） （二）直線位置關(guān)系： 1、在解析幾何中直線的位置關(guān)系有三種：平行，相交（包含垂直），重合 如果題目中提到“兩條直線”，則不存在重合的情況，如果只是，則要考慮重合的情況. 2、直線平行的條件 （1）斜截式方程：設(shè)直線 ① ② 若直線的斜率存在，則 （2）一般式方程：設(shè)，則 ① 當時，∥ ② ，且和中至少一個成立，則∥（此條件適用于所有直線） 3、直線垂直的條件： （1）斜截式方程：設(shè)直線，則 （2）一般式方程：設(shè)，則： 4、一般式方程平行與垂直判定的規(guī)律： 可選擇與一般式方程對應(yīng)的向量：，即有： ，從而的關(guān)系即可代表的關(guān)系，例如： （注意驗證是否會出現(xiàn)重合的情況） （三）距離問題： 1、兩點間距離公式：設(shè)，則 2、點到直線距離公式：設(shè) 則點到直線的距離 3、平行線間的距離： 則的距離為 （四）對稱問題 1、中心對稱： （1）幾何特點：若關(guān)于點中心對稱，則為線段的中點 （2）解析特征：設(shè)，，則與點關(guān)于點中心對稱的點滿足： 2、軸對稱 （1）幾何特點：若若關(guān)于直線軸對稱，則為線段的中垂線，即，且的中點在上 （2）解析特征：設(shè)，，則與點關(guān)于軸對稱的點滿足： ，解出即可 （3）求軸對稱的直線：設(shè)對稱軸為直線，直線關(guān)于的對稱直線為 ① 若∥，則∥，且到對稱軸的距離與到對稱軸的距離相等 ② 若與相交于 ，則取上一點，求出關(guān)于的對稱點，則即為對稱直線 （五）直線系方程：滿足某種特征的一類直線組成的集合稱為直線系，直線系的方程通常含有參數(shù)（以參數(shù)的不同取值確定直線） 1、平行線系：集合中的直線呈兩兩平行關(guān)系——參數(shù)不會影響斜率的取值 （1）與直線平行的直線系方程為：（為參數(shù)，且） （2）與直線垂直的直線系方程為：（為參數(shù)） 2、過定點的直線： （1）若參數(shù)的取值影響直線的斜率，則可尋找該直線是否圍繞一個定點旋轉(zhuǎn)：即把含參數(shù)的項劃為一組并提取參數(shù)，只需讓參數(shù)所乘的因式為0即可 （2）已知（與不重合），則過交點的直線系方程為：（該直線無法表示） 3、直線系方程的用途：主要是在求直線方程時可充分利用平行，垂直或過定點的條件，將直線設(shè)為只含一個參數(shù)的方程，從而在思路上就可圍繞如何求參數(shù)配置資源，尋找條件解出參數(shù)，即可得到所求直線方程 【經(jīng)典例題】 例1.過點和 的直線的斜率為1，則實數(shù)的值為（ ） A．1 B．2 C．1或4 D．1或2 【答案】A 【解析】依題意有． 例2.已知直線方程為則直線的傾斜角為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由直線方程為 所以直線的斜率為 因為直線傾斜角的范圍 所以傾斜角為 故答案為. 例3. 坐標平面內(nèi)有相異兩點，經(jīng)過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】，且.設(shè)直線的傾斜角為，當時，則，所以傾斜角的范圍為.當時，則，所以傾斜角的范圍為. 例4. 直線過點，若直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程. 【答案】或. 例5. 已知直線，其中，則“”是“”的 （ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】直線的充要條件是 或 .故選A. 例6.【2018屆四川省南充高級中學高三9月檢測】已知直線.若，則實數(shù)的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】，則 即 經(jīng)檢驗都符合題意 故選A. 例7．已知兩點，直線過點且與線段相交，直線的斜率的取值范圍是 . 【答案】 例8. 設(shè)直線l的方程為． (1)若在兩坐標軸上截距相等，求的方程； (2)若不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】(1).(2)． 【解析】 (1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，∴，方程即為. 當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0， ∴＝，即方程即為.綜上，的方程為. (2)將的方程化為 ∴或, 綜上可知的取值范圍是． 點睛：涉及直線在兩坐標軸上截距相等問題，要特別注意截距均為的情況；另外，某些涉及直線問題中，往往要討論直線的斜率是否存在的情況，也應(yīng)特別注意. 例9.【2018屆黑龍江省伊春市第二中學高三上第一次月考】已知直線與直線，為它們的交點，點為平面內(nèi)一點.求 （1）過點且與平行的直線方程； （2）過點的直線，且到它的距離為2的直線方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】試題分析：(1)先求，寫出直線點斜式方程，整理得解(2)先求兩條直線的交點，設(shè)出直線方 ∴ （2） ∴， 當斜率不存在，則方程為，不合題意 當斜率存在，設(shè)方程, 而, ∴, ∴, ， ∴或， ∴方程為或. 例10. 已知直線，直線，若直線關(guān)于直線的對稱直線為，求直線的方程． 【答案】. 【解析】 直線關(guān)于直線對稱， 所以與與間的距離相等． 由兩平行直線間的距離公式得， 解得或（舍去）， 所以直線的方程為. 法二：由題意知，設(shè)直線， 在直線上取點， 設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為， 于是有，解得，即． 把點代入的方程，得， 所以直線的方程為． 【精選精練】 1.【2018屆云南省師范大學附屬中學高三月考卷（二）】已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過，兩點，且直線與垂直，則實數(shù)的值為（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 2.已知直線與直線平行，則實數(shù)的值為 ( ) A. B． C. D. 【答案】A 【解析】由題意，，即,選A. 3.平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A．或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】． 4.已知直線在兩坐標軸上的截距之和為4，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積的最大值是 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】直線在兩坐標軸上的截距之和為4，所以，即 ，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積的最大值是 . 5．若直線與以，為端點的線段沒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】直線過定點,所以，選D. 6.直線經(jīng)過點，則傾斜角與直線的傾斜角互為補角的一條直線方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】將點代入得，直線方程為，斜率為，傾斜角為.故和其垂直的直線斜率為，故選C. 7.點，，，若線段和有相同的垂直平分線，則點的坐標是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 8. 如圖所示，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由題意知點P關(guān)于直線AB的對稱點為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|＝2．故選A． 9.若直線： 經(jīng)過點，則直線在軸和軸的截距之和的最 小值是 ． 【答案】． 【解析】由題意得，∴截距之和為 ，當且僅當，即時，等號成立，即的最小值為． 10.已知兩直線和．試確定的值，使 （1）與相交于點； （2）∥； （3），且在軸上的截距為－1． 【答案】（1），；（2），或，；（3），. 【解析】 試題分析：（1）將點代入兩直線方程，解出和的值；（2）由∥得斜率相等，求出值，再把直線可能重合的情況排除；（3）先檢驗斜率不存在的情況，當斜率存在時，看斜率之積是否等于， ∴或 即，時或，時，． （3）當且僅當，即時，．又，∴． 即，時，，且在軸上的截距為． 11.【2018屆黑龍江省伊春市第二中學高三上第一次月考】已知直線的方程為，求的方程，使得： （1）與平行，且過點； （2）與垂直，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）由與平行可設(shè)，再代點得.（2）由與垂直可設(shè)，再得與坐標軸的交點，根據(jù)面積公式得，最后解方程得 試題解析：解：（1）設(shè)， ∵過點， ∴. ∴方程為. ∴. ∴方程為或. 12．已知，直線， 相交于點P，交y軸于點A，交x軸于點B （1）證明：； （2）用m表示四邊形OAPB的面積S，并求出S的最大值； （3）設(shè)S= f (m), 求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】（1）見解析；（2）1；（3）在（－1，0）上為減函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù). 【解析】（1）證明：可把兩條直線化為 （3）, 又是單調(diào)遞減的函數(shù), 而在（－1，0）上遞增，在（0，1）上遞減， 在（－1，0）上為減函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù)