遼寧省沈陽市2017-2018學年高中數(shù)學暑假作業(yè) 集合、函數(shù)、基本初等函數(shù) 2 函數(shù)的基本概念.doc

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二、函數(shù)的基本概念 一．選擇題（共12小題） 1．已知函數(shù)f（x）=，則f（x）的值域是（　?。? A．[1，+∞） B．[0，+∞） C．（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞） 2．若函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f（1﹣x）的圖象大致為（　　） A． B． C． D． 3．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)y=log2x的圖象上所有的點（　?。? A．向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度 B．向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度 C．向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度 D．向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度 4．已知函數(shù)f（x）滿足：①對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②當x∈（1，2]時，f（x）=2﹣x．若f（a）=f（2020），則滿足條件的最小的正實數(shù)a的值為（　　） A．28 B．34 C．36 D．100 5．定義新運算⊕：當a≥b時，a⊕b=a；當a＜b時，a⊕b=b2，則函數(shù)f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．6 D．12 6．設x取實數(shù)，則f（x）與g（x）表示同一個函數(shù)的是（　　） A． B． C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0 D． 7．已知函數(shù)，關于f（x）的性質，有以下四個推斷： ①f（x）的定義域是（﹣∞，+∞）； ②f（x）的值域是； ③f（x）是奇函數(shù)； ④f（x）是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)． 其中推斷正確的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 8．若函數(shù)f（x）=的值域為實數(shù)集R，則f（2）的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，﹣） B．（﹣∞，﹣） C．[﹣，+∞） D．[﹣，﹣） 9．函數(shù)f（x）=的值域是（　?。? A．[﹣，] B．[﹣，0] C．[0，] D．[0，1] 10．若函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域為（﹣∞，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．（3，+∞） B．（0，] C．（1，3） D．[，1） 11．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．則f（c）的取值范圍為（　?。? A．[﹣，1] B．[0，1] C．[0，] D．[﹣，1] 12．定義區(qū)間[x1，x2]的長度為x2﹣x1（x2＞x1）單調遞增），函數(shù)（a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]（n＞m），則區(qū)間[m，n]取最大長度時實數(shù)a的值（　?。? A． B．﹣3 C．1 D．3 二．填空題（共4小題） 13．函數(shù)的定義域是　 　（用區(qū)間表示）． 14．已知函數(shù)對定義域內的任意x的值都有﹣1≤f（x）≤4，則a的取值范圍為　 　． 15．已知函數(shù)f（x）=2x+1與函數(shù)y=g（x）的圖象關于直線x=2成軸對稱圖形，則函數(shù)y=g（x）的解析式為　 　． 16．若函數(shù)（a，b，c∈R）的定義域和值域分別為集合A，B，且集合{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形，則b+c的最大值為　 　． 三．解答題（共2小題） 17．已知函數(shù)f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）． （1）若函數(shù)的值域為[0，+∞），求a的值； （2）若函數(shù)值為非負數(shù)，求函數(shù)f（a）=2﹣a|a+3|的值域． 18．已知函數(shù)f（x）=是定義域為（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且． （1）求f（x）的解析式； （2）用定義證明：f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)； （3）若實數(shù)t滿足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求實數(shù)t的范圍． 　 答案： 二、函數(shù)的概念 選擇題（共12小題） 1．【解答】解：由f（x）=，知 當x≤1時，x2≥0；當x＞1時，x+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，當且僅當x=，即x=2時取“=”，取并集得：f（x）的值域是[0，+∞）．故選：B．　 2．【解答】解：因為從函數(shù)y=f（x）到函數(shù)y=f（1﹣x）的平移變換規(guī)律是：先關于y軸對稱得到y(tǒng)=f（﹣x），再整體向右平移1個單位即可得到． 即圖象變換規(guī)律是：①→②． 故選：A． 3．【解答】解：∵函數(shù)=log2（x+1）﹣log24=log2（x+1）﹣2， 故其圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個長度單位得到，故選C．　 4．【解答】解：取x∈（2m，2m+1），則∈（1，2]；f（）=2﹣，從而f（x）=2f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…， f（2020）=210f（）=211﹣2020=28=f（a）， 設a∈（2m，2m+1）則f（a）=2m+1﹣a=28，∴a=2m+1﹣28∈（2m，2m+1）， 即m≥5，a≥36，∴滿足條件的最小的正實數(shù)a是36．故選：C． 5．【解答】解：由題意知當﹣2≤x≤1時，f（x）=x﹣2，當1＜x≤2時，f（x）=x3﹣2，又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定義域上都為增函數(shù)，∴f（x）的最大值為f（2）=23﹣2=6．故選C． 6．【解答】解：對于A，f（x）=x2（x∈R），與g（x）==|x|（x∈R）的對應關系不同，所以不是同一函數(shù)；對于B，f（x）==1（x＞0），與g（x）==1（x＞0）的定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數(shù)； 對于C，f（x）=1（x∈R），與g（x）=（x﹣1）0=1（x≠1）的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于D，f（x）==x﹣3（x≠﹣3），與g（x）=x﹣3（x∈R）的定義域不同，所以不是同一函數(shù)．故選：B． 7．【解答】解：①∵函數(shù)，∴f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），故①正確； ②f（x）=，x＞0時：f（x）≤， x＜0時：f（x）≥﹣，故f（x）的值域是，故②正確； ③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函數(shù)，故③正確； ④由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1， 令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，∴f（x）在區(qū)間（0，2）上先增后減， 故④錯誤；故選：C． 8．【解答】解：由f（x）=作出函數(shù)圖象如圖， 由圖象可知，0＜a＜1且，即． 又f（2）=， ∴f（2）∈[﹣，﹣）．故選：D．　 9．【解答】解：由得，則﹣1≤x≤1，即函數(shù)的定義域為[﹣1，1]，設x=sinα，則函數(shù)f（x）等價為y==， 設P（sinα，|cosα|），則點P在單位圓x2+y2=1的上半部分， 則的幾何意義是圓上點到點A（2，1）的斜率， 由圖象知AB的斜率最小，此時k=0， AC的斜率最大，此時k==1，故0≤k≤1， 故函數(shù)f（x）的值域是[0，1]，故選：D 10．【解答】解：①若a＞3，x＜0時，0＜f（x）＜1，x≥0時，f（x）≥4a，此時不滿足f（x）的值域為（﹣∞，+∞）； ②若a=3，顯然不成立；③若1＜a＜3，x＜0時，0＜f（x）＜1，x≥0時，f（x）≤4a，不滿足值域（﹣∞，+∞）； ④若0＜a＜1，x＜0時，f（x）＞1，x≥0時，f（x）≤4a； 要使f（x）的值域為（﹣∞，+∞），則：4a≥1； ∴；∴實數(shù)a的取值范圍是．故選D　 11．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab ≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=， 當c=，a=0，b=時，f（c）=，∴f（c）的最小值為﹣； 又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab == =，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得當c=1時，f（c）有最大值為1． ∴f（c）的取值范圍為[]．故選：A． 12．【解答】解：由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0}， ∵[m，n]是其定義域的子集，∴[m，n]?（﹣∞，0）或（0，+∞）． ∵f（x）=在[m，n]上是增函數(shù)， ∴由條件得，則m，n是方程f（x）=x的同號相異的實數(shù)根， 即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根． ∴mn=，m+n==， 則△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3． ∴n﹣m=== =， ∴n﹣m的最大值為，此時，解得a=3， 即在區(qū)間[m，n]的最大長度為時，a的值是3． 故選D．． 二．填空題（共4小題） 13．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得：x＞1，且x≠3． ∴函數(shù)的定義域是（1，3）∪（3，+∞）． 故答案為：（1，3）∪（3，+∞）．　 14．【解答】解：根據(jù)題意得： 恒成立，所以恒成立 所以解得﹣4≤a≤4故答案為[﹣4，4]． 15．【解答】解：設g（x）的圖象上的任一點P（x，y），且P關于直線x=2的對稱點P′（x′，y′），則，解得 ， ∵點P′在函數(shù)y=2x 的圖象上，∴y=2（4﹣x）+1=﹣2x+9， 即C′所對應的函數(shù)解析式為y=﹣2x+9，故答案為：y=﹣2x+9 16．【解答】解：由題可知，a＜0，b2﹣4ac＞0，則，， 因為{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形，所以， 可得a=﹣4，b2+16c=16，，所以，當b=8時有最大值5．故答案為5． 三．解答題（共2小題） 17【解答】解：（1）∵函數(shù)的值域為[0，+∞）， 即二次函數(shù)f（x）=x2﹣4ax+2a+6圖象不在x軸下方， ∴△=0，即16a2﹣4（2a+6）=0，∴2a2﹣a﹣3=0， 解得a=﹣1或a=；（2）由（1）知，對一切x∈R函數(shù)值均為非負數(shù)， ∴△≤0，即﹣1≤a≤；∴a+3＞0； ∵f（a）=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣3a+2=﹣2+，其中 ； ∴二次函數(shù)f（a）在上單調遞減． ∴f≤f（a）≤f（﹣1），即﹣≤f（a）≤4，∴f（a）的值域為．　 18．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=是定義域為（﹣1，1）上的奇函數(shù)， ∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）又f（1）=，∴a=1；…（5分） ∴…（5分） （2）設﹣1＜x1＜x2＜1，則x2﹣x1＞0， 于是f（x2）﹣f（x1）=﹣=， 又因為﹣1＜x1＜x2＜1，則1﹣x1x2＞0，，， ∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， ∴函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)； （3）f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1）； …（6分） 又由已知函數(shù)f（x）是（﹣1，1）上的奇函數(shù)，∴f（﹣t）=﹣f（t）…（8分） ∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t）…（3分） 由（2）可知：f（x）是（﹣1，1）上的增函數(shù)，…（10分） ∴2t﹣1＜1﹣t，t＜，又由﹣1＜2t﹣1＜1和﹣1＜1﹣t＜1得0＜t＜ 綜上得：0＜t＜…（13分）