第六章 不等式習(xí)題

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1、資料來源： 第一節(jié)：不等式的性質(zhì) 　第二節(jié)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 　第三節(jié)：不等式的證明 　第四節(jié)：不等式的解法舉例 　第五節(jié)：含絕對(duì)值的不等式 第一節(jié)：不等式的性質(zhì) 1．比較兩式的大小 比較下列各式的大小。 　?。?） 與 　?。?） 與 ?。?） 　?。?） 與 ?。?） 解法1： 　　 　　當(dāng) 時(shí)　 　　當(dāng) 時(shí)　 　　當(dāng) 時(shí)　 （2）∵　 　　當(dāng) 時(shí)　 　　當(dāng) 時(shí)　 　?。?） 　　∴　 解法2：（1）、（2）得，現(xiàn)解（3） 注意　此題在于鞏固讀者學(xué)過的乘法公式。 2．判斷命題真假的題目 例1　判斷

2、下列命題是否正確，并說明理由。 　?。?） 　?。?） 　?。?） 　　（4） 　?。?） 　?。?） 　?。?） 　?。?） （ ） 解答：（1）命題成立，可由性質(zhì) 直接推出。 　　（2）命題不成立，因?yàn)?不成立。如 ，顯然有 ，但推不出 　?。?）命題不成立。當(dāng) 時(shí)，有 　?。?）命題成立?？捎尚再|(zhì) 　　（5）命題不成立。其中 ，可由性質(zhì)直接推出，而 則不成立，例如： 時(shí)就不成立。 　?。?）命題不成立，例如 時(shí)就不成立。 　?。?）命題成立。由性質(zhì) ，可直接證得 ? ；而由性質(zhì) 可以證得 ? ? 　?。?）命題成立。由性質(zhì) 可直接證

3、得 ? 　　點(diǎn)評(píng)　關(guān)于基本性質(zhì)方面的總量主要有三類：一類是基本性質(zhì)，包括互逆性和傳遞性類是與加減運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)；另一類是與乘、除、乘方、開方運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)。 3．求代數(shù)式范圍的題目 　　設(shè) ，那么 的范圍是（　　?。? 　　　?。ˋ） 　　　　?。˙） 　　　?。–） 　　　　　?。―） 　　答案　D 4．考查不等式性質(zhì)的選擇題 綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)，請(qǐng)完成以下題目： （1）若 ，則下列不等關(guān)系中不能成立的是（　?。? 　　　　A． 　　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D． （提示： 是一個(gè)有用的小結(jié)論。） （2）如果 ，那么下列不等式① ；② ；③ ；④

4、其中恒成立的是（?。? 　　　　A．①②　　　　　　B．①③ 　　　　C．①④　　　　　　D．②③ （3）若 、 是任意實(shí)數(shù)，且 ，則（　　） 　　　　A． 　　　　　B． 　　　　C． 　　　D． （4）若 且 ，則下面的不等式中正確的是（　?。? 　　　　A． 　　　　　B． 　　　　C． 　　　　　D． （5）若 和 是實(shí)數(shù)， 是有理數(shù)，滿足下面哪個(gè)條件必有 （　?。? 　　　　A． 　　　　　　　B． 　　　　C． 　　　　　　　D． 5．應(yīng)用不等式的性質(zhì)解題的綜合題目 題目? 設(shè) 且 ，比較 與 的大小。 分析：待比較兩式帶有絕對(duì)值符號(hào)，因此應(yīng)設(shè)法去

5、掉絕對(duì)值，才能便于作差或商的變形。 解法1：當(dāng) 時(shí)，由 知 　　　　 ， 　　∴ ? 　　 　　∵ 　　∴ ，從而 　　故 解法2：平方作差： 　　　 　　 　　 　　 　　 　　∴ 　　故 解法3：作商比較 　　∵ 　　∴ ， 　　∴ ， 　　故 　　 　　由 知 及 　　∴ ， 　　故 　　∴ 　　評(píng)注：本例含有兩個(gè)變?cè)?，乍一看必須要對(duì) 進(jìn)行分類討論，如解法1；然而再通過多角度審視卻回避了討論，得到了巧妙的解法2與解法3。 　第二節(jié)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 　第三節(jié)：不等式的證明

6、 一、選擇題 　　1．設(shè) 都是正數(shù)，且 ，則下列各不等式中恒不成立的是（??? ） 　　　　A． ????????? B． 　　　　C． ????????? D． 答案：B 　　2．若 ， ， ， ，則 　　　　A． ??????????? B． 　　　　C． ??????????? D． 答案：B（提示：∵ ，∴? 又 ，∴選B） 　　3．若 且 ，則下列不等式恒成立的是（?? ） 　　　　A． ??????????? B． 　　　　C． ????????????? D． 答案：B（提示： 時(shí)，B不成立） 二、填空題 　　1．若 ，寫出 的大小關(guān)系??

7、???? 。 答案：1． （提示： 又 ， ∵ ， ，∴ ， 　　2．若正數(shù) 滿足 ，則 的取值范圍是????????? 。 答案：2． （提示：∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ 三、解答題 　　1．用比較法證明 　?。?）若 為不全相等的正數(shù)，求證： 　　 ； 　?。?） ； 　?。?）若 ，求證： 答案： 　　1．（1）左－右 　?。ā?且不全相等，故上式中總有一項(xiàng)非零） 　?。?） 　　?　　 　　　　 （∵ 與 不能同時(shí)成立） 　?。?）∵ ，∵ ， ∴ ， ，∴ ，∴ 2．用綜合法證明： 　　若 ，求證： 答案

8、： 　　∵ ， ， ， 三式相加得 　　∵ ， ∴ ，即 ， 　　∴ 3．用分析法證明： 　　（1）若 ，求證： ； 　?。?）已知 ，求證： 　　（3）若 ，求證： ； 　?。?） 答案： 　　（1）由 ，故只需證明 即 ，展開得 ，即只需證 ，即 ，最后不等式顯然成立，故原不等式成立。 　?。?）欲證 ??????? ??????? （∵ ） 　　　 　　　 　　由于 ，故最后的不等式成立，因而原不等式成立。 　?。?）∵ ，欲證 　　 　顯然成立，故原不等式成立。 　?。?）注意到 　　設(shè) 　　則欲證? 　　

9、　　 　　 顯然成立，故原不等式成立。 　第四節(jié)：不等式的解法舉例 一、選擇題 1．下列各對(duì)不等式中同解的是（? ）． 　　A． 與 ?? B． 與 　　C． 與 ????????? D． 與 2．下列不等式中： 　?、?和 　?、?和 　?、?和 　?、?和 不等價(jià)的是（? ）． 　　A．②?? B．③? C．②和③?? D．②、③和④ 3．若不等式 的解集是 ，不等式 的解集是 ，則不等式組 的解集是（? ）． 　　A． ?? B． ?? C． ??? D． 4．若方程 只有正根，則 的取值范圍是（? ）． 　　A． 或 ??　　 B

10、． 　　C． ????　　　? D． 答案：1．D? 2．B? 3．A? 4．B 二、填空題 　?。保坏仁?的解集是___________. 　　２．若 且 ，則不等式 的解集為_________. 　?。常坏仁?的解集是__________. 答案： 　　１． ??? 　?。玻?? 　　３． 三、解答題 　?。保獠坏仁?. 　?。玻獠坏仁?. 　　３．解不等式 ． 答案： 　?。保匠痰葍r(jià)于 或 ，故解集為 ； 　?。玻匠痰葍r(jià)于 ，因?yàn)?，所以 ，得解集 ； 　?。常匠痰葍r(jià)于 且 ，所以解集為 . 　第五節(jié)：含

11、絕對(duì)值的不等式 一、選擇題 1．設(shè)實(shí) 滿足 ，則下列不等式成立的是（? ）． 　　A． 　　 ??? B． 　　C． ??　 D． 2．若 = 成立， ，則有（? ）． 　　A． ?? 　　B． ?? 　　C． ?? 　　D． 3．已知 ，那么（? ）． 　　A． ?? 　　B． ?? 　　C． ??　　 D． 4．不等式 成立的充分必要條件是（? ）． 　　A． 都不為零??? B． 　　C． 為非負(fù)數(shù)??? D． 中至少一個(gè)不為零 答案：1．B? 2．C? 3．C? 4．D 二、填空題 　　1．對(duì)于實(shí)數(shù) ， 中等號(hào)成立的條件是__________. 　　2．若 ， ，則 與2的大小關(guān)系是_______. 　　3．若 ，則 恒為正數(shù)的充分必要條件是_________. 答案： 　　1． ? 　　2． ? 　　3． 三、解答題 　　1．若 ， ，求證 . 　　2．若 ，求證： 和 中必有一個(gè)大于1，而另一個(gè)小于1. 　　3．若 ，求證： . 答案： 　　1． 　　　 　　　 　　2． ，所以 中必有一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，即 中必有一個(gè)大于1，而另一個(gè)小于1。 　　3．