（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.8 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用精練.docx

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2.8　函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征,體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 2014湖南,8 實(shí)際應(yīng)用問題中的函數(shù)思想 ★★★ 2.函數(shù)的綜合應(yīng)用問題 了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用,了解函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系,并能解決一些具體的實(shí)際問題 2016天津文,14 函數(shù)的綜合應(yīng)用問題 函數(shù)與方程 ★★★ 2013天津文,8 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 2013天津,8 函數(shù)的單調(diào)性 分析解讀　　為了考查學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng),高考加強(qiáng)了函數(shù)綜合應(yīng)用問題的考查力度,這一問題一般涉及的知識點(diǎn)較多,綜合性也較強(qiáng),屬于中檔以上的試題,題型以填空題和解答題為主,在高考中分值為5分左右,通常在如下方面考查: 1.對函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的考查,這類問題多以社會實(shí)際生活為背景,設(shè)問新穎,要求學(xué)生掌握課本中的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識與方法. 2.以課本知識為載體,把函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識聯(lián)系起來,構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍,利用分離參數(shù)法求函數(shù)值域,進(jìn)而求字母的取值等. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用 1.去年某地的月平均氣溫y(℃)與月份x(月)近似地滿足函數(shù)y=a+bsinπ6x+φa,b為常數(shù),0<φ<π2.其中三個(gè)月份的月平均氣溫如下表: x 5 8 11 y 13 31 13 則該地2月份的月平均氣溫約為　　　　℃,φ=　　　　. 答案　-5;π6 考點(diǎn)二　函數(shù)的綜合應(yīng)用問題 2.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),按逆時(shí)針方向沿周長為l的平面圖形運(yùn)動一周,A,P兩點(diǎn)間的距離y與動點(diǎn)P所走過的路程x的關(guān)系如圖所示,則動點(diǎn)P所走的圖形可能是(　　) 答案　D　 3.若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A.5或8　　　　B.-1或5　　　　C.-1或-4　　　　D.-4或8 答案　D　 4.(2017課標(biāo)Ⅰ,9,5分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則(　　) A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減　　　　 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱 答案　C　 5.單位圓的內(nèi)接正n(n≥3)邊形的面積記為f(n),則f(3)=　　　　. 下面是關(guān)于f(n)的描述: ①f(n)=n2sin2πn; ②f(n)的最大值為π; ③f(n)1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(　　) A.(-1,1]∪(2,+∞)　　　　B.(-2,-1]∪(1,2]　　　　C.(-∞,-2)∪(1,2]　　　　D.[-2,-1] 答案　B　 4.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,　　　　x≥0(a>0,且a≠1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是　　　　. 答案　13,23 5.(2012天津,14,5分)已知函數(shù)y=|x2-1|x-1的圖象與函數(shù)y=kx的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　. 答案　(0,1)∪(1,2) B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用 1.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為(　　) A.p+q2　　　　B.(p+1)(q+1)-12　　　　C.pq　　　　D.(p+1)(q+1)-1 答案　D　 2.(2018浙江,11,6分)我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則x+y+z=100,5x+3y+13z=100,當(dāng)z=81時(shí),x=　　　　,y=　　　　. 答案　8;11 考點(diǎn)二　函數(shù)的綜合應(yīng)用問題 1.(2017山東,15,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為　　　　. ①f(x)=2-x?、趂(x)=3-x　③f(x)=x3?、躥(x)=x2+2 答案　①④ 2.(2014山東,15,5分)已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y=h(x)滿足:對任意x∈I,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對稱.若h(x)是g(x)=4-x2關(guān)于f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　　　. 答案　(210,+∞) C組　教師專用題組 考點(diǎn)一　函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用 　(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值; (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t. ①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域; ②當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長度最短?求出最短長度. 解析　(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5). 將其分別代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1000,b=0. (2)①由(1)知,y=1000x2(5≤x≤20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,1000t2, 設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y=-2000x3, 則l的方程為y-1000t2=-2000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3000t2. 故f(t)=3t22+3000t22=32t2+4106t4,t∈[5,20]. ②設(shè)g(t)=t2+4106t4,則g(t)=2t-16106t5. 令g(t)=0,解得t=102. 當(dāng)t∈(5,102)時(shí),g(t)<0,g(t)是減函數(shù); 當(dāng)t∈(102,20)時(shí),g(t)>0,g(t)是增函數(shù); 從而,當(dāng)t=102時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=153. ∴當(dāng)t=102時(shí),公路l的長度最短,最短長度為153千米. 評析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力. 考點(diǎn)二　函數(shù)的綜合應(yīng)用問題 1.(2017浙江,17,4分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x+4x-a+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是　　　　　　. 答案　-∞,92 2.(2014湖北,14,5分)設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0,對任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(diǎn)(a,f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當(dāng)f(x)=1(x>0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù). (1)當(dāng)f(x)=　　　　(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù); (2)當(dāng)f(x)=　　　　(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)2aba+b. (以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可) 答案　(1)x　(2)x 3.(2014四川,15,5分)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合:對于函數(shù)φ(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[-M,M].例如,當(dāng)φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx時(shí),φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下命題: ①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,則“f(x)∈A”的充要條件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函數(shù)f(x)∈B的充要條件是f(x)有最大值和最小值; ③若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,則f(x)+g(x)?B; ④若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x>-2,a∈R)有最大值,則f(x)∈B. 其中的真命題有　　　　.(寫出所有真命題的序號) 答案?、佗邰? 4.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函數(shù)F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q. (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍; (2)(i)求F(x)的最小值m(a); (ii)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a). 解析　(1)由于a≥3,故 當(dāng)x≤1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0, 當(dāng)x>1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a]. (2)(i)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定義知m(a)=min{f(1),g(a)},即 m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-2,a>2+2. (ii)當(dāng)0≤x≤2時(shí),F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),當(dāng)2≤x≤6時(shí),F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}. 所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4. 思路分析　(1)先分類討論去掉絕對值符號,再利用作差法求解;(2)分段函數(shù)求最值的方法是分別求出各段上的最值,較大(小)的值就是這個(gè)函數(shù)的最大(小)值. 評析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力. 【三年模擬】 選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2017天津和平一模,8)已知函數(shù)f(x)=|x2+2x-3|,x<2,-x2-2x+13,x≥2,若關(guān)于x的方程f(x)-m=0恰有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是(　　) A.[0,4]　　　　B.(0,4)　　　　C.(4,5)　　　　D.(0,5) 答案　B　 2.(2019屆天津耀華中學(xué)第一次月考,8)已知函數(shù)f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0),若有且只有兩個(gè)整數(shù)x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)>0,則a的取值范圍是(　　) A.(ln3,2)　　　　B.[2-ln3,2)　　　　C.(0,2-ln3]　　　　D.(0,2-ln3) 答案　C　 3.(2018天津九校聯(lián)考,8)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=log2(x+1),x∈[0,1),|x-3|-1,x∈[1,+∞),則函數(shù)F(x)=f(x)-a(00,-x2-2x+1,x≤0,若存在互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c,d,滿足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m.則以下三個(gè)結(jié)論: ①m∈[1,2); ②a+b+c+d∈[e-3+e-1-2,e-4-1),其中e為自然對數(shù)的底數(shù); ③關(guān)于x的方程f(x)=x+m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解. 正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　C　 5.(2017天津十二區(qū)縣二模,8)已知函數(shù)f(x)=2x-1(0≤x≤1),f(x-1)+m(x>1)在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增,且對于任意a≥0,方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則函數(shù)g(x)=f(x)-x在區(qū)間[0,2n](n∈N*)上所有零點(diǎn)的和為(　　) A.n(n+1)2　　　　B.22n-1+2n-1　　　　C.(1+2n)22　　　　D.2n-1 答案　B　 6.(2017天津和平四模,8)已知函數(shù)f(x)=14x+1,x≤1,lnx,x>1,當(dāng)方程f(x)=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.0,1e　　　　B.14,1e　　　　C.0,14　　　　D.14,e 答案　B　 7.(2018天津靜海一中模擬,8)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)對任意的x滿足f(x+1)=-f(x),當(dāng)-1≤x<1時(shí),f(x)=x3,函數(shù)g(x)=|logax|,x>0,-1x,x<0,若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[-6,+∞)上有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.0,17∪(7,+∞)　　　　B.19,17∪[7,9)　　　　C.19,17∪(7,9]　　　　D.19,1∪(1,9] 答案　C　 8.(2018天津紅橋二模,8)已知定義在[-1,+∞)上的函數(shù)在區(qū)間[-1,3)上的解析式為f(x)=1-x2(-1≤x<1),32-32|x-2|(1≤x<3),當(dāng)x≥3時(shí),函數(shù)滿足f(x)=f(x-4)+1,若函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k為(　　) A.514　　　　B.15　　　　C.13　　　　D.512 答案　D