2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.1-2.3.2 第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式.2.熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).3.系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法. 知識(shí)點(diǎn)一 等比數(shù)列的性質(zhì) 思考 在等比數(shù)列{an}中,a=a1a9是否成立?a=a3a7是否成立?a=an-2an+2(n>2,n∈N*)是否成立? 答案 ∵a5=a1q4,a9=a1q8, ∴a1a9=aq8=(a1q4)2=a,∴a=a1a9成立. 同理a=a3a7成立,a=an-2an+2也成立. 梳理 一般地,在等比數(shù)列{an}中,若m+n=s+t,則有aman=asat(m,n,s,t∈N*). 若m+n=2k,則aman=a(m,n,k∈N*). 知識(shí)點(diǎn)二 由等比數(shù)列衍生的等比數(shù)列 思考 等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,2,4,8,下列判斷正確的是 (1){3an}是等比數(shù)列; (2){3+an}是等比數(shù)列; (3)是等比數(shù)列; (4){a2n}是等比數(shù)列. 答案 由定義可判斷出(1),(3),(4)正確. 梳理 (1)在等比數(shù)列{an}中按序號(hào)從小到大取出若干項(xiàng):ak1,ak2,ak3,…,akn,…,若k1,k2,k3,…,kn,…成等差數(shù)列,那么ak1,ak2,ak3,…,akn,…是等比數(shù)列. (2)如果{an},{bn}均為等比數(shù)列,那么數(shù)列,{anbn},,{|an|}是等比數(shù)列. 1.a(chǎn)n=amqn-m(n,m∈N*),當(dāng)m=1時(shí),就是an=a1qn-1.(√) 2.在等比數(shù)列{an}中,若公比q<0,則{an}一定不是單調(diào)數(shù)列.(√) 3.若{an},{bn}都是等比數(shù)列,則{an+bn}是等比數(shù)列.() 類型一 等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣應(yīng)用 例1 在等比數(shù)列{an}中. (1)a4=2,a7=8,求an; (2)若{an}為遞增數(shù)列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通項(xiàng)公式an. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 已知數(shù)列為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式 解 (1)∵=q7-4=,即q3=4,∴q=, ∴an=a4qn-4=2()n-4=2=. (2)由a=a10=a5q10-5,且a5≠0, 得a5=q5,即a1q4=q5,又q≠0,∴a1=q. 由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan, ∵an≠0, ∴2(1+q2)=5q,解得q=或q=2. ∵a1=q,且{an}為遞增數(shù)列, ∴ ∴an=22n-1=2n. 反思與感悟 (1)應(yīng)用an=amqn-m,可以憑借任意已知項(xiàng)和公比直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式,不必再求a1. (2)等比數(shù)列的單調(diào)性由a1,q共同確定,但只要單調(diào),必有q>0. 跟蹤訓(xùn)練1 (1)在等比數(shù)列{an}中,a3=4,a7=16,則a5=________; (2)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為_(kāi)_________. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 題點(diǎn) 已知數(shù)列為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式 答案 (1)8 (2)64 解析 (1)∵=q7-3=q4==4,∴q2=2. ∴a5=a3q5-3=4q2=42=8. (2)設(shè)該等比數(shù)列{an}的公比為q, ∴即解得 ∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4) =, 當(dāng)n=3或4時(shí),取得最小值-6, 此時(shí)取得最大值26, ∴a1a2…an的最大值為64. 類型二 等比數(shù)列的性質(zhì) 命題角度1 序號(hào)的數(shù)字特征 例2 已知{an}為等比數(shù)列. (1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題 解 (1)a2a4+2a3a5+a4a6=a+2a3a5+a =(a3+a5)2=25, ∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5. (2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得 a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95, ∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10) =log395=10. 反思與感悟 抓住各項(xiàng)序號(hào)的數(shù)字特征,靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì),可以順利地解決問(wèn)題. 跟蹤訓(xùn)練2 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a3a5=4,則a1a2a3a4a5a6a7=________. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 等比數(shù)列各項(xiàng)積的問(wèn)題 答案 128 解析 ∵a3a5=a=4,an>0,∴a4=2. ∴a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4 =432=128. 命題角度2 未知量的設(shè)法技巧 例3 有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù). 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì)的其他應(yīng)用問(wèn)題 解 方法一 設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d,, 由條件得解得或 所以當(dāng)a=4,d=4時(shí),所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16; 當(dāng)a=9,d=-6時(shí),所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1. 故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二 設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為-a,,a,aq(q≠0), 由條件得解得或 當(dāng)a=8,q=2時(shí),所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16; 當(dāng)a=3,q=時(shí),所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1. 故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 反思與感悟 合理地設(shè)出未知數(shù)是解決此類問(wèn)題的技巧.一般地,三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,a,aq;三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為a-d,a,a+d.若四個(gè)同號(hào)的數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為,,aq,aq3;四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+3d. 跟蹤訓(xùn)練3 有四個(gè)數(shù),前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,首末兩項(xiàng)和為21,中間兩項(xiàng)和為18,求這四個(gè)數(shù). 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì)的其他應(yīng)用問(wèn)題 解 設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為x,y,18-y,21-x, 則由題意得 解得或 故所求的四個(gè)數(shù)為3,6,12,18或,,,. 1.在等比數(shù)列{an}中,a2=8,a5=64,則公比q為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 等比數(shù)列基本量的計(jì)算 題點(diǎn) 求等比數(shù)列公比 答案 2 解析 由a5=a2q3,得q3=8,所以q=2. 2.在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a1a10=27,則log3a2+log3a9=________. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì)與對(duì)數(shù)運(yùn)算綜合 答案 3 解析 因?yàn)閍2a9=a1a10=27, 所以log3a2+log3a9=log327=3. 3.在1與2之間插入6個(gè)正數(shù),使這8個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則插入的6個(gè)數(shù)的積為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 等比數(shù)列各項(xiàng)積的問(wèn)題 答案 8 解析 設(shè)這8個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為{an}, 則a1=1,a8=2. 插入的6個(gè)數(shù)的積為a2a3a4a5a6a7 =(a2a7)(a3a6)(a4a5) =(a1a8)3=23=8. 4.已知an=2n+3n,判斷數(shù)列{an}是不是等比數(shù)列? 考點(diǎn) 等比數(shù)列的判定 題點(diǎn) 判斷數(shù)列為等比數(shù)列 解 不是等比數(shù)列. ∵a1=21+31=5,a2=22+32=13,a3=23+33=35, ∴a1a3≠a,∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列. 1.解題時(shí),應(yīng)該首先考慮通式通法,而不是花費(fèi)大量時(shí)間找簡(jiǎn)便方法. 2.所謂通式通法,指應(yīng)用通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式,等差中項(xiàng),等比中項(xiàng)等列出方程(組),求出基本量. 3.巧用等比數(shù)列的性質(zhì),減少計(jì)算量,這一點(diǎn)在解題中也非常重要. 一、填空題 1.在等比數(shù)列{an}中,a2015=8a2012,則公比q的值為_(kāi)_____. 考點(diǎn) 等比數(shù)列基本量的計(jì)算 題點(diǎn) 求等比數(shù)列公比 答案 2 解析 ∵a2015=8a2012=a2012q3, ∴q3=8,∴q=2. 2.在數(shù)列{an}中,a1=1,點(diǎn)(an,an+1)在直線y=2x上,則a4的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的判定 題點(diǎn) 判斷數(shù)列為等比數(shù)列 答案 8 解析 點(diǎn)(an,an+1)在直線y=2x上,∴an+1=2an, ∵a1=1≠0,∴an≠0,∴{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,∴a4=123=8. 3.已知在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,lg(a3a8a13)=6,則a1a15的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 等比數(shù)列的性質(zhì) 題點(diǎn) 利用項(xiàng)數(shù)的規(guī)律解題 答案 10000 解析 ∵lg(a3a8a13)=lga=6, ∴a=106,∴a8=102=100.∴a1a15=a=10000. 4.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,an+1- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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