（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 8 第八節(jié) 解三角形的綜合應(yīng)用精練.docx

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第八節(jié)　解三角形的綜合應(yīng)用 課時作業(yè)練 1.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高度是60 m,則河流的寬度BC=　　　　　　. 答案　120(3-1)m 解析　如圖,∠ACD=30,∠ABD=75,AD=60 m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30=603(m).在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75=602+3=60(2-3)(m),則BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)(m). 2.某同學(xué)騎電動車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛,在點A處測得電視塔S在電動車的北偏東30方向上,15 min后到點B處,測得電視塔S在電動車的北偏東75方向上,則點B與電視塔的距離是　　　　km. 答案　32 解析　由題意知AB=241560=6(km).在△ABS中,∠BAS=30,AB=6 km,∠ASB=75-30=45.由正弦定理知BSsin30=ABsin45,則BS=ABsin30sin45=32(km). 3.如圖所示,長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則tan α=　　　　. 答案　2315 解析　由題意可知,在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m, 由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(π-α),解得cos α=516,所以sin α=23116,所以tan α=sinαcosα=2315. 4.為了豎一塊廣告牌,要制造一個三角形支架,如圖,要求∠ACB=60,BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米,為了穩(wěn)固廣告牌,要求AC越短越好,則AC最短為　　　　. 答案　(2+3)米 解析　設(shè)BC的長度為x米,AC的長度為y米,則AB的長度為(y-0.5)米.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,即(y-0.5)2=y2+x2-2yx12, 化簡得y(x-1)=x2-14. ∵x>1,∴x-1>0, ∴y=x2-14x-1,即y=(x-1)+34(x-1)+2≥3+2, 當(dāng)且僅當(dāng)x-1=34(x-1),即x=1+32時,上式取“=”, ∴當(dāng)x=1+32時,y有最小值2+3. 5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知b=45,c=5,且B=2C,點D為邊BC上一點,且CD=3,則△ADC的面積為　　　　. 答案　6 解析　在△ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC,又B=2C,則b2sinCcosC=csinC,又sin C>0,則cos C=b2c=255,又C為三角形的內(nèi)角,則sin C=1-cos2C=55,則△ADC的面積為12ACCDsin C=1245355=6. 6.(2018江蘇南通摸底)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos C=223,bcos A+acos B=2,則△ABC的外接圓面積為　　　　. 答案　9π 解析　已知bcos A+acos B=2,由正弦定理可得2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R為△ABC的外接圓半徑),則2Rsin(A+B)=2,則2Rsin C=2.因為cos C=223,所以sin C=13,所以R=3,故△ABC的外接圓面積為9π. 7.(2019泰州模擬)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40方向上,則燈塔A與B的距離為　　　　km. 答案　3a 解析　由題圖可知,∠ACB=120,由余弦定理, 得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB=a2+a2-2aa-12=3a2,解得AB=3a(km). 8.在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=3,則b2+c2的取值范圍是　　　　. 答案　(5,6] 解析　因為(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,所以由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,化簡得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=12,所以△ABC的內(nèi)角A=π3.又a=3,則asinA=bsinB=csinC=332=2,則b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1-cos 2B)+2(1-cos 2C)=4-2cos 2B+cos 22π3-B=4-212cos 2B-32sin 2B=4-2cos2B+π3.又△ABC是銳角三角形,所以00,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示,則fπ3=　　　　. 答案　1 解析　由圖象可得A=2,最小正周期T=11π12-π643=π=2πω?ω=2,又fπ6=2sin2π6+φ=2,0<φ<π,所以φ=π6,故f(x)=2sin2x+π6, fπ3=2sin2π3+π6=1. 5.(2018江蘇三校高三聯(lián)考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊長分別為a,b,c.已知a+2c=2b,sin B=2sin C,則cos C=　　　　. 答案　34 解析　由正弦定理及已知得b=2c,則a=2c,由余弦定理可得cos C=2c2+2c2-c222c2=34. 6.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|的定義域和值域都是[a,b](b>a),則a+b=　　　　. 答案　1 解析　因為函數(shù)f(x)=|2x-1|的函數(shù)值非負,所以a≥0,則函數(shù)f(x)=|2x-1|=2x-1在[a,b]上遞增,所以f(a)=2a-1=a, f(b)=2b-1=b,即a,b是方程2x-1=x的兩個非負根,由圖象可得a=0,b=1,所以a+b=1. 7.(2019江蘇徐州一中高三模擬)已知函數(shù)f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m],其中m∈R,當(dāng)函數(shù)f(x)的值域為[0,2]時,實數(shù)m的取值范圍是　　　　. 答案　[1,2] 解析　函數(shù)f(x)=x|x2-3|=x3-3x,x>3,-x3+3x,0≤x≤3,作出函數(shù)f(x)的圖象(圖略),可知當(dāng)函數(shù)f(x)的值域為[0,2]時,1≤m≤2. 8.(2018江蘇三校聯(lián)考)已知α,β∈0,π2,且sin(α+2β)=13. (1)若α+β=2π3,求sin β的值; (2)若sin β=45,求cos α的值. 解析　(1)∵α+β=23π,sin(α+2β)=13, ∴sin23π+β=13, ∵β∈0,π2,∴23π+β∈2π3,76π, ∴cos23π+β=-223, ∴sin β=sin23π+β-23π=sin23π+βcos23π-cos23π+βsin23π=13-12--22332=26-16. (2)∵sin β=45,α,β∈0,π2,∴cos β=1-sin2β=35, ∴sin 2β=2sin βcos β=2425,cos 2β=2cos2β-1=-725, ∴2β∈π2,π, 又sin(α+2β)=13,α+2β∈π2,3π2,所以cos(α+2β)=-223, 所以cos α=cos[(α+2β)-2β]=cos(α+2β)cos 2β+sin(α+2β)sin 2β=-223-725+132425=24+14275.