（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)精練.docx

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4.3　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.了解三角函數(shù)的周期性 2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、對稱性、奇偶性以及最值問題等);理解正切函數(shù)的單調(diào)性 2017天津,7 三角函數(shù)的周期性 三角函數(shù)求值 ★★★ 2016天津文,8 三角函數(shù)的周期性 函數(shù)零點 2015天津文,14 三角函數(shù)的單調(diào)性及對稱性 三角函數(shù)圖象及其性質(zhì) 2014天津文,8 三角函數(shù)的周期性及最值 三角函數(shù)圖象及其性質(zhì) 2.三角函數(shù)的圖象及其變換 1.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象 2.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響 2018天津,6 三角函數(shù)圖象的平移變換 三角函數(shù)的單調(diào)性 ★★☆ 分析解讀　　通過分析近幾年的高考試題可以看出,對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查一般以基礎(chǔ)題為主,難度不大,命題呈現(xiàn)出如下幾點:1.研究三角函數(shù)必須在定義域內(nèi)進行,要特別關(guān)注三角函數(shù)的定義域;2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,要利用公式將三角函數(shù)化為一個角的函數(shù)形式,再利用整體換元的思想通過解不等式組得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;3.三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及最值是主要考點.本節(jié)重點考查三角恒等變換及數(shù)形結(jié)合能力,在高考備考復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視. 破考點 【考點集訓(xùn)】 考點一　三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.函數(shù)y=3sin2x+π4的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是(　　) A.2π　　　　B.π　　　　C.π2　　　　D.π4 答案　C　 2.(2017課標(biāo)Ⅱ,14,5分)函數(shù)f(x)=sin2x+3cosx-34x∈0,π2的最大值是　　　　. 答案　1 3.已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x =2sin2x+π4. 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z), 得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z). 當(dāng)x∈[0,π]時,單調(diào)遞增區(qū)間為0,π8和5π8,π. 思路分析　(1)根據(jù)二倍角公式、兩角和的正弦公式將原式化簡,得到f(x)=2sin2x+π4,根據(jù)周期公式得到T=2π2=π;(2)由題意得到-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),從而得到單調(diào)增區(qū)間,再與[0,π]取交集. 考點二　三角函數(shù)的圖象及其變換 4.將函數(shù)y=3sin2x+π3的圖象向右平移π2個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(　　) A.在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞增　　　　C.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增 答案　B　 5.如圖,已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,-π<φ<π)的部分圖象,那么f(x)的解析式為(　　) A.f(x)=sinx+π2　　　　B.f(x)=sinx-π2　　　　C.f(x)=sin2x+π2　　　　D.f(x)=sin2x-π2 答案　A　 6.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的解析式; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π3個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,令F(x)=f(x)+g(x),求函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)因為2πω=45π6-π3=2π,所以ω=1. 又因為sinπ3+φ=1,所以π3+φ=2kπ+π2(k∈Z). 所以φ=2kπ+π6(k∈Z).因為-π2<φ<π2,所以φ=π6. 所以f(x)的解析式是f(x)=sinx+π6. (2)由已知得g(x)=sinx+π3+π6=sinx+π2=cosx, 所以F(x)=f(x)+g(x)=sinx+π6+cosx=32sinx+12cosx+cosx=32sinx+32cosx=3sinx+π3. 函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z). 由2kπ-π2≤x+π3≤2kπ+π2(k∈Z), 得2kπ-5π6≤x≤2kπ+π6(k∈Z), 所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-5π6,2kπ+π6(k∈Z). 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式 1.(2015課標(biāo)Ⅰ,8,5分)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.kπ-14,kπ+34,k∈Z B.2kπ-14,2kπ+34,k∈Z　　　　 C.k-14,k+34,k∈Z D.2k-14,2k+34,k∈Z 答案　D　 2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則φ=　　　　;ω=　　　　. 答案　-π6;43 3.已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0),若函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的部分圖象如圖所示,則ω=　　　　,a的最小值是　　　　. 答案　2;π12 方法2　三角函數(shù)性質(zhì)問題的求解方法 4.(2016課標(biāo)Ⅱ,7,5分)若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移π12個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為(　　) A.x=kπ2-π6(k∈Z)　　　　B.x=kπ2+π6(k∈Z)　　　　C.x=kπ2-π12(k∈Z)　　　　D.x=kπ2+π12(k∈Z) 答案　B　 5.(2018課標(biāo)Ⅱ,10,5分)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是(　　) A.π4　　　　B.π2　　　　C.3π4　　　　D.π 答案　A　 6.已知函數(shù)f(x)=sinx(cosx-3sinx). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在x∈[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)因為f(x)=sinx(cosx-3sinx) =sinxcosx-3sin2x =12sin2x+32cos2x-32 =sin2x+π3-32, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得 2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z, 所以kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)在x∈[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是0,π12和7π12,π. 思路分析　(1)根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡f(x)即可得最小正周期; (2)求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,再根據(jù)x∈[0,π]得出所求. 方法點撥　第(2)問中求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z),k=0時,單調(diào)遞增區(qū)間為-5π12,π12;k=1時,單調(diào)遞增區(qū)間為7π12,13π12.將兩個區(qū)間與[0,π]取交集,可得所求單調(diào)遞增區(qū)間為0,π12和7π12,π. 過專題 【五年高考】 A組　自主命題天津卷題組 考點一　三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.(2017天津,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(　　) A.ω=23,φ=π12　　　　B.ω=23,φ=-11π12　　　　C.ω=13,φ=-11π24　　　　D.ω=13,φ=7π24 答案　A　 2.(2016天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx2+12sinωx-12(ω>0),x∈R.若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點,則ω的取值范圍是(　　) A.0,18　　　　B.0,14∪58,1　　　　C.0,58　　　　D.0,18∪14,58 答案　D　 3.(2014天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲線y=f(x)與直線y=1的交點中,若相鄰交點距離的最小值為π3,則f(x)的最小正周期為(　　) A.π2　　　　B.2π3　　　　C.π　　　　D.2π 答案　C　 4.(2015天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=ω對稱,則ω的值為　　　　. 答案　π2 5.(2016天津,15,13分)已知函數(shù)f(x)=4tanxsinπ2-xcosx-π3-3. (1)求f(x)的定義域與最小正周期; (2)討論f(x)在區(qū)間-π4,π4上的單調(diào)性. 解析　(1)f(x)的定義域為x|x≠π2+kπ,k∈Z. f(x)=4tanxcosxcosx-π3-3 =4sinxcosx-π3-3 =4sinx12cosx+32sinx-3 =2sinxcosx+23sin2x-3 =sin2x+3(1-cos2x)-3 =sin2x-3cos2x=2sin2x-π3. 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)令z=2x-π3,易知函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z. 由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z. 設(shè)A=-π4,π4,B=x|-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,易知A∩B=-π12,π4. 所以,當(dāng)x∈-π4,π4時,f(x)在區(qū)間-π12,π4上單調(diào)遞增,在區(qū)間-π4,-π12上單調(diào)遞減. 考點二　三角函數(shù)的圖象及其變換 　(2018天津,6,5分)將函數(shù)y=sin2x+π5的圖象向右平移π10個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(　　) A.在區(qū)間3π4,5π4上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間3π4,π上單調(diào)遞減　　　　C.在區(qū)間5π4,3π2上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間3π2,2π上單調(diào)遞減 答案　A　 B組　統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一　三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.(2017課標(biāo)Ⅲ,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+π3,則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.f(x)的一個周期為-2π B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=8π3對稱　　　　C.f(x+π)的一個零點為x=π6 D.f(x)在π2,π單調(diào)遞減 答案　D　 2.(2016課標(biāo)Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4為f(x)的零點,x=π4為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在π18,5π36單調(diào),則ω的最大值為(　　) A.11　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.5 答案　B　 3.(2015安徽,10,5分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=2π3時,函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.f(2)0,|φ|<π2在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式; (2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為5π12,0,求θ的最小值. 解析　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-π6. 數(shù)據(jù)補全如下表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函數(shù)表達式為f(x)=5sin2x-π6. (2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6, 故g(x)=5sin2x+2θ-π6. 因為y=sinx的對稱中心為(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-π6=kπ, 解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z. 由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點5π12,0成中心對稱, 令kπ2+π12-θ=5π12,解得θ=kπ2-π3,k∈Z. 由θ>0可知,當(dāng)k=1時,θ取得最小值π6. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共50分) 1.(2019屆天津一中1月月考,3)若由函數(shù)y=sin2x+π2的圖象變換得到y(tǒng)=sinx2+π3的圖象,則可以通過以下兩個步驟完成:第一步,把y=sin2x+π2圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變;第二步,可以把所得圖象沿x軸(　　) A.向右平移π3個單位長度 B.向右平移5π12個單位長度　　　　C.向左平移π3個單位長度 D.向左平移5π12個單位長度 答案　A　 2.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),5)將函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象F向左平移π6個單位長度后得到圖象F,若圖象F的一個對稱中心為π4,0,則φ的一個可能取值是(　　) A.π12　　　　B.π6　　　　C.5π6　　　　D.7π12 答案　D　 3.(2019屆天津新華中學(xué)期中,7)已知函數(shù)f(x)=sinπ3-ωx(ω>0)的圖象向左平移半個周期后得到g(x)的圖象,若g(x)在[0,π]上的值域為-32,1,則ω的取值范圍是(　　) A.16,1　　　　B.23,32　　　　C.13,76　　　　D.56,53 答案　D　 4.(2018天津和平三模,6)將函數(shù)f(x)=3cos2x-sin2x(x∈R)的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)y=g(x)(　　) A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)　　　　C.既是奇函數(shù),又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù) 答案　A　 5.(2018天津九校聯(lián)考,6)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,則f-13π24=(　　) A.-62　　　　B.-32　　　　C.-22　　　　D.-1 答案　D　 6.(2018天津一中5月月考,6)設(shè)ω>0,函數(shù)y=2cosωx+π5的圖象向右平移π5個單位長度后與函數(shù)y=2sinωx+π5的圖象重合,則ω的最小值是(　　) A.12　　　　B.32　　　　C.52　　　　D.72 答案　C　 7.(2018天津南開一模,5)若函數(shù)y=cos2x與函數(shù)y=sin(2x+φ)在0,π4上的單調(diào)性相同,則φ的一個值為(　　) A.π6　　　　B.π4　　　　C.3π4　　　　D.3π2 答案　C　 8.(2018天津河西二模,7)已知函數(shù)f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為π2的等差數(shù)列,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移π6個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,關(guān)于函數(shù)g(x),現(xiàn)有如下命題: ①在π4,π2上是增函數(shù);②其圖象關(guān)于點-π4,0對稱;③函數(shù)g(x)是奇函數(shù);④當(dāng)x∈π6,2π3時,函數(shù)g(x)的值域是[-2,1]. 其中真命題的個數(shù)是(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　C　 9.(2018天津紅橋二模,6)設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期為π,將y=f(x)的圖象向左平移π8個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則(　　) A.g(x)在0,π2上單調(diào)遞增 B.g(x)在π4,34π上單調(diào)遞減　　　　C.g(x)在0,π2上單調(diào)遞減 D.g(x)在π4,34π上單調(diào)遞增 答案　C　 10.(2018天津耀華中學(xué)第二次月考,7)已知函數(shù)f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0),若在區(qū)間(0,π)上有三個不同的x使得f(x)=1,則ω的取值范圍是(　　) A.52,236　　　　B.52,236　　　　C.32,196　　　　D.32,196 答案　A　 二、填空題(每小題5分,共10分) 11.(2019屆天津耀華中學(xué)月考,12)若將函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x的圖象向右平移φ個單位長度,所得圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的最小正值是　　　　. 答案　3π8 12.(2017天津河?xùn)|二模,13)已知ω>0,在函數(shù)y=sinωx與y=cosωx的圖象的交點中,距離最近的兩個交點間的距離為3,則ω的值為　　　　. 答案　π 三、解答題(共35分) 13.(2019屆天津南開中學(xué)開學(xué)考試,14)已知函數(shù)f(x)=23sinax-π4cosax-π4+2cos2ax-π4(a>0),且函數(shù)的最小正周期為π2. (1)求a的值; (2)求f(x)在0,π4上的最大值和最小值. 解析　(1)因為f(x)=23sinax-π4cosax-π4+2cos2ax-π4=3sin2ax-π2+cos2ax-π2+1 =2sin2ax-π2+π6+1=2sin2ax-π3+1, 又f(x)的最小正周期為π2, 所以T=2π2a=π2, 解得a=2. (2)由(1)可知f(x)=2sin4x-π3+1, 令-π2+2kπ≤4x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2,k∈Z,所以當(dāng)-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2,k∈Z時,f(x)單調(diào)遞增, 設(shè)A=0,π4,B=x-π24+kπ2≤x≤5π24+kπ2,k∈Z,易知A∩B=0,5π24,當(dāng)x∈0,π4時,f(x)在區(qū)間0,5π24上單調(diào)遞增,在區(qū)間5π24,π4上單調(diào)遞減, 且f(0)=-3+1,f5π24=3,fπ4=3+1,所以,在0,π4上,f(x)的最大值是3,最小值是-3+1. 思路分析　本題主要考查兩角和與差公式和倍角公式與半角公式. (1)根據(jù)正弦函數(shù)的倍角公式、余弦函數(shù)的倍角公式及正弦函數(shù)的和差公式將f(x)化簡為f(x)=2sin2ax-π3+1,由于f(x)的最小正周期為π2,根據(jù)周期公式T=2πω,即可解出a. (2)首先求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,進而計算閉區(qū)間端點處函數(shù)值及極值,即可求解函數(shù)最值. 14.(2018天津一中4月月考,15)已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+π6,x∈R. (1)將f(x)的圖象向右平移π6個單位長度,得到g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若f(α)=-512,且0<α<π2,求sin2α的值. 解析　(1)函數(shù)f(x)=sinxcosx+π6 =sinxcosxcosπ6-sinxsinπ6 =32sinxcosx-12sin2x =34sin2x+14cos2x-14 =12sin2x+π6-14,x∈R, 將f(x)的圖象向右平移π6個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)=12sin2x-π6+π6-14=12sin2x-π6-14的圖象, 即g(x)=12sin2x-π6-14, 令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z, 解得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z, ∴g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π6,kπ+π3,k∈Z. (2)若f(α)=-512,則12sin2α+π6-14=-512, ∴sin2α+π6=-13, 又∵0<α<π2,∴π<2α+π6<7π6, ∴cos2α+π6=-1-sin22α+π6=-223, ∴sin2α=sin2α+π6-π6 =sin2α+π6cosπ6-cos2α+π6sinπ6 =-1332--22312 =22-36. 15.(2017天津一中3月月考,15)函數(shù)f(x)=cos(πx+φ)0<φ<π2的部分圖象如圖所示. (1)求φ及圖中x0的值; (2)設(shè)g(x)=f(x)+fx+13,求函數(shù)g(x)在區(qū)間-12,13上的最大值和最小值. 解析　(1)由題意,得f(0)=cos(0+φ)=320<φ<π2, ∴φ的值是π6. ∵32=cosπx0+π6, ∴2π-π6=πx0+π6,易知T=2, ∴x0∈(0,2),故x0的值是53. (2)由題意可得fx+13=cosπx+13+π6 =cosπx+π2=-sinπx, 所以g(x)=f(x)+fx+13 =cosπx+π6-sinπx =cosπxcosπ6-sinπxsinπ6-sinπx =32cosπx-12sinπx-sinπx=32cosπx-32sinπx =3cosπx+π3, 因為x∈-12,13, 所以-π6≤πx+π3≤2π3. 所以當(dāng)πx+π3=0,即x=-13時,g(x)取得最大值3; 當(dāng)πx+π3=2π3,即x=13時,g(x)取得最小值-32. 解題分析　本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角函數(shù)最值的解法,屬于中檔題.