2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 二 平行線分線段成比例定理學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx

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二　平行線分線段成比例定理 [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.理解平行線分線段成比例定理. 2.理解平行線分線段成比例定理的推論. 3.能應(yīng)用定理及推論解決相關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題和證明問(wèn)題. [知識(shí)鏈接] 1.對(duì)于成比例線段有下面的結(jié)論： (1)如果＝，那么ad＝____. (2)如果＝，那么＝____. (3)如果＝(a≠b，c≠d)，那么＝____. 提示　bc　　 2.如圖所示，l1∥l2∥l3，AB∶BC＝2∶3，DF＝15，求DE，EF的長(zhǎng)度. 提示　由已知可設(shè)DE＝2x，EF＝3x，則2x＋3x＝15，∴x＝3，∴DE＝6，EF＝9. [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.平行線分線段成比例定理 文字語(yǔ)言 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 符號(hào)語(yǔ)言 a∥b∥c，直線m分別與a，b，c相交于點(diǎn)A，B，C，直線n分別與a，b，c相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則＝ 圖形語(yǔ)言 作用 證明分別在兩條直線上的線段成比例 2.推論 文字語(yǔ)言 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 符號(hào)語(yǔ)言 直線DE分別與△ABC的兩邊AB，AC所在直線交于D，E，且DE∥BC，則＝ 圖形語(yǔ)言 作用 證明三角形中的線段成比例 要點(diǎn)一　平行線分線段成比例定理的理解 例1　如圖，已知線段AB，在線段AB上找一點(diǎn)C，使AC＝CB. 解　作法：(1)過(guò)點(diǎn)A作適當(dāng)射線AK； (2)在射線AK上依次截取點(diǎn)B1，B2，B3，使AB1＝B1B2＝B2B3； (3)連接BB3； (4)過(guò)B1作B1C∥BB3交AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求. 證明如下： ∵B1C∥BB3，∴＝. 又∵AB3＝3AB1，∴＝，∴＝. 即AC＝CB. 規(guī)律方法　可應(yīng)用平行線分線段成比例定理來(lái)作圖，由于AC＝CB，所以C為線段AB的三等分點(diǎn)，于是作射線AK，然后在AK上依次截取AB1＝B1B2＝B2B3，連接B3B.過(guò)B1作B1C∥B3B，即得到點(diǎn)C. 跟蹤演練1　如圖，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，則下列等式成立的是(　　) A.＝　　　　B.＝ C.＝ D.＝ 解析　∵DE∥BC，∴＝，∴＝.① 又∵DF∥AC，∴＝.② 由①②知＝，即＝，∴＝. 答案　D 要點(diǎn)二　平行線分線段成比例定理及推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例2　如圖所示，已知直線FD和△ABC的BC邊交于D，與AC邊交于E，與BA的延長(zhǎng)線交于F，且BD＝DC. 求證：AEFB＝ECFA. 證明　法一　如圖①所示，過(guò)A作AG∥BC，交DF于點(diǎn)G. ∵AG∥BC，∴＝.又BD＝DC，∴＝. 又由AG∥BC，得＝.∴＝， 即AEFB＝ECFA. 法二　如圖②所示，過(guò)點(diǎn)B作BM∥AC交FD的延長(zhǎng)線于M.∵AE∥BM， ∴＝. 又由BM∥EC，知∠3＝∠4， 又∠1＝∠2且BD＝DC，∴△EDC≌△MDB， ∴BM＝EC.∴＝， 即AEFB＝ECFA. 規(guī)律方法　在利用平行線分線段成比例定理及推論解決問(wèn)題時(shí)，常常在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形(有時(shí)需添加輔助線，構(gòu)成基本圖形)，借圖解題.本題證AEFB＝ECFA.可先證比例式＝，構(gòu)造含平行線的基本圖形，利用平行線分線段成比例定理及其推論進(jìn)行證明. 跟蹤演練2　如圖所示，l1∥l2∥l3. 求證：＝＝. 證明　∵l1∥l2∥l3， ∴＝，∴＝， ∵＝，∴＝.∴＝＝. 要點(diǎn)三　平行線分線段成比例定理及推論的綜合應(yīng)用 例3　如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，E為BC邊中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC，DE相交于點(diǎn)F. 求證：＝. 證明　作EH∥AB交AC于點(diǎn)H， ∴＝，∴＝， 同理可證：＝， ∴＝. ∵△BDC為直角三角形且E為BC邊中點(diǎn)， ∴BE＝CE＝DE， ∴＝，∴＝. 規(guī)律方法　通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造基本圖形，借圖尋找合適的等量關(guān)系，再結(jié)合其他知識(shí)綜合利用，以解決問(wèn)題. 跟蹤演練3　如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，過(guò)B的直線分別交AC，AD，CD的延長(zhǎng)線于O，F(xiàn)，E. 求證：OB2＝OFOE. 證明　∵AB∥CE，∴＝.① 又∵AF∥BC，∴＝＝.② ∵AB∥DE，∴＝.③ 由③得＝＝， 即＝.④ 由②④得＝， 又由①得＝. 即OB2＝OEOF. 1.比例的性質(zhì) 這是學(xué)好本節(jié)的前提. (1)基本性質(zhì)a∶b＝c∶d?ad＝bc. (2)合比性質(zhì)：如果＝，那么＝. (3)等比性質(zhì)：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝. 2.利用平行線轉(zhuǎn)移比例式是常用的證題技巧，當(dāng)題目中沒(méi)有平行條件而有必要轉(zhuǎn)移比例式時(shí)，常添加輔助平行線.添加的輔助線不同，解題方法也不相同. 3.推論的圖形變化如圖所示. 1.如圖所示，AB∥CD，AC，BD交于O，BO＝7，DO＝3，AC＝25，則AO的長(zhǎng)為(　　) A.10 B.7.5 C.15 D.17.5 解析　∵AB∥CD，∴＝＝，∴＝＝.∴＝，即＝，∴AO＝17.5. 答案　D 2.如圖，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，則B1C1的長(zhǎng)為(　　) A.6 cm B.4 cm C.3cm D.2 cm 解析　∵l1∥l2∥l3，∴＝， ∴B1C1＝＝2. 答案　D 3.如圖，E是?ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且＝，則＝________. 解析　由已知：BF∥AD， ∴＝＝＝＋1， 又∵AB＝DC，＝， ∴＝，∴＝. 答案　 4.如圖所示，DE∥BC，EF∥DC. 求證：AD2＝AFAB. 證明　在△ABC中，DE∥BC， ∴＝.在△ADC中，EF∥DC， ∴＝，∴＝，即AD2＝AFAB. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.如圖所示，△ACE的中點(diǎn)B，D分別在AC，AE上，下列推理不正確的是(　　) A.BD∥CE?＝ B.BD∥CE?＝ C.BD∥CE?＝ D.BD∥CE?＝ 解析　由平行線等分線段定理的推論，易知A，B，C都正確，D錯(cuò). 答案　D 2.如圖所示，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是CA邊的三等分點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，則AF∶FD為(　　) A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1 解析　過(guò)D作DG∥AC交BE于G， 則DG＝EC，又∵AE＝2EC， ∴AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1. 答案　C 3.如圖所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，E是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析　∵BC∥AD，∴①＝對(duì)， ②＝對(duì)， ④∵＝，∴＝， 故④也對(duì).③錯(cuò). 答案　C 4.如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 解析　∵DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2，∴＝＝＝，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又＝，∴AB＝. 答案　 5.如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC＝1，BC＝4，則BF＝________. 解析　∵DF∥AC，∴＝＝. ∴BF＝4＝. 答案　 6.如圖所示，在?ABCD中，H，E分別是AD，AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，HE交DC于K，交AC于G，交BC于F. 求證：GHGK＝GEGF. 證明　要證GHGK＝GEGF，即證＝. 由AD∥BC得＝， 由AB∥CD得＝， ∴＝，即GHGK＝GEGF. 7.如圖所示，已知有?ABCD，點(diǎn)N是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DN交BC于點(diǎn)M，則－為(　　) A. B.1 C. D. 解析　由CD∥BN得＝，又四邊形ABCD為平行四邊形，故AB＝CD，∴＝，∴－＝－＝＝＝1. 答案　B 二、能力提升 8.如圖所示，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，則GH的長(zhǎng)是________. 解析　∵AB∥GH，∴＝，∵GH∥CD，∴＝，∴＋＝＋＝1，∴GH＝. 答案　 9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_(kāi)_______. 解析　∵EF∥AB，且EF＝3＝(AB＋CD)， ∴EF是梯形中位線，設(shè)梯形ABFE的高為h， ∴S梯形ABFE＝(4＋3)h＝h，S梯形EFCD＝(2＋3)h＝h， ∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝h∶h＝. 答案　 10.已知AD∥EF∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AE∶BE＝2∶3，AD＝10 cm，BC＝15 cm，求EF的長(zhǎng). 解　如圖，連接BD交EF于點(diǎn)G. ∵＝， ∴＝，＝. ∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝. ∵BC＝15 cm，∴GF＝6 cm. 同理可得EG＝6 cm.∴EF＝EG＋GF＝12 cm. 11.如圖所示，BD∶DC＝5∶3，E為AD的中點(diǎn)，求BE∶EF的值. 解　過(guò)D作DG∥CA交BF于G，則＝＝. ∵E為AD的中點(diǎn)，DG∥AF， ∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴＝＝＝2＝. 故＝＝＋1＝＋1＝. 三、探究與創(chuàng)新 12.在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，過(guò)點(diǎn)C任作一直線與邊AB及AD分別交于點(diǎn)F，E. (1)如圖(1)所示，DG∥CF交AB于點(diǎn)G，當(dāng)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：＝； (2)如圖(2)所示，當(dāng)＝時(shí)，求證：＝； (3)如圖(3)所示，當(dāng)＝時(shí)，猜想：與之間是否存在著一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式，并給出證明過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. (1)證明　∵DG∥CF，BD＝DC， ∴BG＝FG＝BF.∵EF∥DG，∴＝. ∴＝＝. (2)證明　過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF交AB于點(diǎn)G，如題圖(2)所示， ∴＝.又＝，∴DC＝2BD＝BC. ∵DG∥FC，∴＝＝. ∴FG＝BF.∴＝＝. (3)解　當(dāng)＝時(shí)，有關(guān)系式：＝. 證明如下：如題圖(3)所示，過(guò)點(diǎn)D作DG∥CF交AB于點(diǎn)G， ∴＝.又∵＝，∴＝，∵DG∥FC， ∴＝＝， ∴FG＝BF，∴＝＝.