（天津專用）2020版高考數學大一輪復習 6.3 等比數列精練.docx
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6.3 等比數列 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯考點 1.等比數列的有關概念及運算 1.理解等比數列的概念 2.掌握等比數列的通項公式 3.了解等比數列與指數函數的關系 4.掌握等比數列的前n項和公式 2018天津文,18 等比數列的通項公式 數列求和的基本方法 ★★★ 2.等比數列的性質及應用 能利用等比數列的性質解決相應的問題 2016天津,5 等比數列性質的應用 充分必要條件的判斷 ★★★ 分析解讀 天津高考對等比數列的考查主要是基本量的運算、an和Sn的關系以及等比數列的性質.對等比數列的定義、通項公式、性質及等比中項的考查,常以選擇題、填空題的形式出現,難度較小.對前n項和以及與其他知識(函數、不等式)相結合的考查,多以解答題的形式出現.解決問題時要注意下標之間的關系,并選擇適當的公式. 破考點 【考點集訓】 考點一 等比數列的有關概念及運算 1.已知等比數列{an}中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是( ) A.15 B.31 C.63 D.64 答案 B 2.已知等比數列{an}中,a2=2,a3a4=32,那么a8的值為 . 答案 128 3.(2014安徽,12,5分)數列{an}是等差數列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列,則q= . 答案 1 4.(2011北京文,12,5分)在等比數列{an}中,若a1=12,a4=4,則公比q= ;a1+a2+…+an= . 答案 2;2n-1-12 考點二 等比數列的性質及應用 5.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,則下列結論一定成立的是( ) A.若a5>0,則a2017<0 B.若a6>0,則a2018<0 C.若a5>0,則S2017>0 D.若a6>0,則S2018>0 答案 C 6.已知等比數列{an}的公比q>0,其前n項和為Sn,若a1=1,4a3=a2a4. (1)求公比q和a5的值; (2)求證:Snan<2. 解析 (1)因為{an}為等比數列,且4a3=a2a4, 所以4a3=a32, 又由題意知an≠0,所以a3=4, 所以q2=a3a1=4,所以q=2, 又因為q>0,所以q=2. 所以a5=a1q4=16. (2)證法一:因為a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,n∈N*, Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1, 所以Snan=2n-12n-1=2-12n-1,因為12n-1>0,所以Snan=2-12n-1<2. 證法二:因為a1=1,q=2,所以an=a1qn-1=2n-1, Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1, 所以Snan-2=-12n-1<0,所以Snan<2. 煉技法 【方法集訓】 方法1 等比數列的基本運算技巧 1.(2015課標Ⅱ,4,5分)已知等比數列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B 2.(2015課標Ⅱ文,9,5分)已知等比數列{an}滿足a1=14,a3a5=4(a4-1),則a2=( ) A.2 B.1 C.12 D.18 答案 C 方法2 等比數列的判定 3.已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=4an-3(n∈N*). (1)證明:數列{an}是等比數列; (2)若數列{bn}滿足bn+1=an+bn(n∈N*),且b1=2,求數列{bn}的通項公式. 解析 (1)證明:由Sn=4an-3可知, 當n=1時,a1=4a1-3,解得a1=1. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(4an-3)-(4an-1-3)=4an-4an-1,即an=43an-1, ∴{an}是首項為1,公比為43的等比數列. (2)由(1)可知an=43n-1, 由bn+1=an+bn(n∈N*)得bn+1-bn=an=43n-1. 所以當n≥2時,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+430+431+…+43n-2 =2+1-43n-11-43=343n-1-1. 當n=1時上式也滿足條件, 故數列{bn}的通項公式為bn=343n-1-1,n∈N*. 思路分析 (2)根據(1)求數列{an}的遞推公式,代入bn+1=an+bn(n∈N*),可得數列{bn}的遞推公式,再用迭代法即可求出{bn}的通項公式. 4.(2016課標Ⅲ,17,12分)已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數列,并求其通項公式; (2)若S5=3132,求λ. 解析 (1)由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=11-λ,a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0, 所以an+1an=λλ-1. 因此{an}是首項為11-λ,公比為λλ-1的等比數列,于是an=11-λλλ-1n-1. (2)由(1)得Sn=1-λλ-1n. 由S5=3132得1-λλ-15=3132,即λλ-15=132. 解得λ=-1. 思路分析 (1)先由題設利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1與an的關系式,要證數列是等比數列,關鍵是看an+1與an之比是不是一常數,其中說明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)問的結論解方程求出λ. 過專題 【五年高考】 A組 自主命題天津卷題組 考點一 等比數列的有關概念及運算 (2018天津文,18,13分)設{an}是等差數列,其前n項和為Sn(n∈N*);{bn}是等比數列,公比大于0,其前n項和為Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整數n的值. 解析 本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識.考查數列求和的基本方法和運算求解能力. (1)設等比數列{bn}的公比為q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因為q>0,可得q=2,故bn=2n-1.所以,Tn=1-2n1-2=2n-1. 設等差數列{an}的公差為d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,從而a1=1,d=1,故an=n, 所以,Sn=n(n+1)2. (2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn可得 n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n的值為4. 考點二 等比數列的性質及應用 (2016天津,5,5分)設{an}是首項為正數的等比數列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數n,a2n-1+a2n<0”的( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 答案 C B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組 考點一 等比數列的有關概念及運算 1.(2017課標Ⅱ,3,5分)我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈( ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 答案 B 2.(2017課標Ⅲ,14,5分)設等比數列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4= . 答案 -8 3.(2017江蘇,9,5分)等比數列{an}的各項均為實數,其前n項和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8= . 答案 32 4.(2016課標Ⅰ,15,5分)設等比數列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為 . 答案 64 5.(2018課標Ⅲ,17,12分)等比數列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項公式; (2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m. 解析 本題考查等比數列的概念及其運算. (1)設{an}的公比為q,由題設得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3. 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒有正整數解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6. 6.(2017課標Ⅰ,17,12分)記Sn為等比數列{an}的前n項和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通項公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數列. 解析 本題考查等差、等比數列. (1)設{an}的公比為q,由題設可得 a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6,解得q=-2,a1=-2. 故{an}的通項公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13. 由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23 =2-23+(-1)n2n+13=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數列. 方法總結 等差、等比數列的常用公式: (1)等差數列: 遞推關系式:an+1-an=d,常用于等差數列的證明. 通項公式:an=a1+(n-1)d. 前n項和公式:Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d. (2)等比數列: 遞推關系式:an+1an=q(q≠0),常用于等比數列的證明. 通項公式:an=a1qn-1. 前n項和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q≠1). (3)在證明a,b,c成等差、等比數列時,還可以利用等差中項:a+c2=b或等比中項:ac=b2來證明. 考點二 等比數列的性質及應用 1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則( ) A.a1
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