高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第9章 第7節(jié) 雙曲線 Word版含解析

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1、 第七節(jié)　雙曲線 [最新考綱]　1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結合思想.4.了解雙曲線的簡單應用． 1．雙曲線的定義 (1)平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線．這兩個定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當2a

2、<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線； ③當2a>|F1F2|時，M點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質 標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 性 質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 性 質 實、虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A

3、2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a，b，c 的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 雙曲線中的幾個常用結論 (1)焦點到漸近線的距離為b. (2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線． (3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)． (4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為. (5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|. (6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝

4、. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　) A．　　 B．5　　　　 C．　　 D．2 A　[由

5、題意可知b＝2a， ∴e＝＝＝，故選A.] 2．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為 (　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 A　[設所求的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，由橢圓＋＝1，得橢圓焦點為(±1,0)，在x軸上的頂點為(±2,0)．所以雙曲線的頂點為(±1,0)，焦點為(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線標準方程為x2－＝1.] 3．若方程－＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是________． (－∞，－2)∪(－1，＋∞)　[因為方程－＝1表示雙曲線，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m

6、＞－1或m＜－2.] 4．已知雙曲線x2－＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________． 6　[設雙曲線的焦點為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點到焦點的距離的最小值為c－a＝－1，故|PF2|＝6.] 考點1　雙曲線的定義及其應用 　雙曲線定義的主要應用 (1)根據(jù)動點與兩定點的距離的差判斷動點的軌跡是否為雙曲線． (2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點有關的問題，如最值問題、距離問題． 　(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動

7、圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________． (2)已知F是雙曲線－＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________． (3)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________. (1)x2－＝1(x≤－1)　(2)9　(3) [(1)如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和B. 根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因為|MA|＝|MB|， 所以|MC1|－

8、|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2， 所以點M到兩定點C1，C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|. 根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． (2)設雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以當|PF1|＋|PA|最小時滿足|PF|＋|PA|最小．由雙曲線的圖像，可知當點A，P，F(xiàn)1共線時，滿足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1

9、|＝5，故所求的最小值為9. (3)因為由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4， 所以cos∠F1PF2＝ ＝＝.] [母題探究] 1．將本例(3)中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？ [解]　不妨設點P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 2．將本例(3)中的條件“|PF1|＝2|P

10、F2|”改為“·＝0”，則△F1PF2的面積是多少？ [解]　不妨設點P在雙曲線的右支上， 則|PF1|－|PF2|＝2a＝2， ∵·＝0，∴⊥， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2. 　在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系． 　1.虛軸長為2，離心率e＝3的雙曲線的兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線的一支于A，B兩點，且|AB|＝

11、8，則△ABF2的周長為(　　) A．3 　　　　　　　 B．16＋ C．12＋ D．24 B　[由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a， ∴9a2＝a2＋1，∴a＝. 由雙曲線的定義知，|AF2|－|AF1|＝2a＝，① |BF2|－|BF1|＝，② ①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8， ∴|AF2|＋|BF2|＝8＋， 則△ABF2的周長為16＋，故選B.] 2．(2019·洛陽模擬)已知雙曲線x2－y2＝4，F(xiàn)1是左焦點，P1，P2是右支上的兩個動點，則|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的

12、最小值是_______． 8　[設雙曲線的右焦點為F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(當且僅當P1，P2，F(xiàn)2三點共線時，取等號)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.] 考點2　雙曲線的標準方程 　求雙曲線標準方程的方法 (1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程． (2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”． ①焦點位置不確定時，設Ax2＋B

13、y2＝1(AB<0)； ②與－＝1共漸近線的設為－＝λ(λ≠0)； ③與－＝1共焦點的設為－＝1(－b20，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，PF2與x軸垂直，∠PF1F2＝30°，且虛軸長為2，則雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 (2)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程： ①虛軸長為12，離心率為； ②漸近線方程為y＝±x，焦距為10； ③經過兩點P(－3,2)和Q(－6，－7)； (1)D　[(1)由題意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2

14、b＝2，由雙曲線的定義可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴雙曲線的標準方程為x2－＝1，故選D.] (2)[解]　① 設雙曲線的標準方程為 －＝1或－＝1(a>0，b>0)． 由題意知，2b＝12，e＝＝，∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴雙曲線的標準方程為－＝1或－＝1. ②設所求雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)， 當λ>0時，雙曲線標準方程為－＝1， ∴c＝.∴＝5，λ＝5； 當λ<0時，雙曲線標準方程為－＝1， ∴c＝. ∴＝5，λ＝－5. ∴所求雙曲線方程為－＝1或－＝1. ③設雙曲線方程為mx2－ny2＝1.(mn>0) ∴解之得

15、∴雙曲線方程為－＝1. 　(1)利用雙曲線的定義解決問題時應注意三點：①距離之差的絕對值；②2a＜|F1F2|；③焦點所在坐標軸的位置．(2)求雙曲線標準方程時，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論． 　1.(2019·荊州模擬)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)過點(，)，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點構成一個等邊三角形，則雙曲線C的標準方程是(　　) A．－y2＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 C　[由雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)過點(，)，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點構成一個等邊三角形，可得解得∴雙曲線C的標準方程是x2－＝1，故選C.] 2．已

16、知雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，焦點坐標為(±5,0)，則雙曲線的方程為__________． －＝1　[將3x±4y＝0化為±＝0，設以±＝0為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，因為該雙曲線的焦點坐標為(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即雙曲線的方程為－＝1.] 考點3　雙曲線的幾何性質 　雙曲線的漸近線 　求雙曲線的漸近線的方法 求雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知漸近線方程為y＝±x，可設雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠

17、0)． 　1.(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[法一：(直接法)由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x. 法二：(公式法)由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.] 2．(2019·揭陽一模)已知雙曲線mx2＋y2＝1的一條漸近線方程為2x＋y＝0，則m的值為(　　) A．－ B．－1 C．－2 D．－4 D　[因為m＜0，則雙曲線為：y2－＝1，漸近線方程為：±x＋y＝0， 所以＝2，

18、解得m＝－4，故選D.] 3．(2019·鄭州模擬)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 B　[假設點P在雙曲線的右支上， 則∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. ∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的邊是PF2， ∴△PF1F2的最小內角為∠PF1F2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°， ∴

19、c2－2ac＋3a2＝0， ∴e2－2e＋3＝0，∴e＝，∴＝， ∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為x±y＝0，故選B.] 4．(2019·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經過點(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是________． y＝±x　[∵雙曲線x2－＝1(b>0)經過點(3,4)，∴32－＝1， 解得b2＝2，即b＝. 又a＝1， ∴該雙曲線的漸近線方程是y＝±x.] 　雙曲線的離心率 　求雙曲線的離心率或其范圍的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有

20、a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解． 　(1)已知點F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞)　 B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋) (2)(2019·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若＝，·＝0，則C的離心率為________． (1)B　(2)2　　[(

21、1)若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，則＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜e＜2，故選B. (2)如圖，由＝，得F1A＝AB. 又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位線， 即BF2//OA， BF2＝2OA. 由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A， 則OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1， 又OA與OB都是漸近線， 得∠BOF2＝∠AOF1， 又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π， 得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝6

22、0°， 又漸近線OB的斜率為＝tan 60°＝， 所以該雙曲線的離心率為e＝＝＝＝2.] 　雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關系：k＝＝＝＝. 　1.(2019·衡水模擬)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是(　　) A． B． C．(1,2) D．(2，＋∞) A　[由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2，圓心C2的坐標為(a,0)，半徑r＝a，由雙曲線C1的一條漸近

23、線與圓C2有兩個不同的交點，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)， 即c21， 所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為.] 2．(2019·濟南模擬)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________． 2　[由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c. 因為2|AB|＝3|BC|， 所以＝6c， 又b2＝c2－a2， 所以2e2－3e－2＝0， 解得e＝2，或e＝－(舍去)．]