高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第8節(jié) 曲線與方程 Word版含解析

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1、 第八節(jié)　曲線與方程 [最新考綱]　1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系.2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程． 1．曲線與方程的定義 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系： 那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 2．求動點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟 3．圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e. (1)當(dāng)0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓． (2)當(dāng)e＞1時，圓錐曲線

2、是雙曲線． (3)當(dāng)e＝1時，圓錐曲線是拋物線． 4．兩曲線的交點(diǎn) 設(shè)曲線C1的方程為f1(x，y)＝0，曲線C2的方程為g(x，y)＝0，則 (1)曲線C1，C2的任意一個交點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程組 (2)反之，上述方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對應(yīng)著兩條曲線某一個交點(diǎn)的坐標(biāo)． 1．“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件． 2．曲線的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系 (1)兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解； (2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點(diǎn)；方程組無解，兩條曲線就沒有交點(diǎn)．

3、 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．(　　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個點(diǎn)和一條直線．(　　) (3)動點(diǎn)的軌跡方程和動點(diǎn)的軌跡是一樣的．(　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．到點(diǎn)F(0,4)的距離比到直線y＝－5的距離小1的動點(diǎn)M的軌跡方程為(　　) A．y＝16x2　　　 B．y＝－16x2 C．x2＝16y D．x2＝－16y C　[由題意可知，動點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,4)的距離

4、等于到直線y＝－4的距離，故點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)F(0,4)為焦點(diǎn)，以y＝－4為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為x2＝16y.] 2．P是橢圓＋＝1上的動點(diǎn)，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM中點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A.x2＋＝1 B．＋y2＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 B　[設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2y)， 代入橢圓方程得＋y2＝1.故選B.] 3．若過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1，l2分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為________． x＋y－1＝0　[設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)

5、，連接PM，∵l1⊥l2. ∴|PM|＝|OM|， 而|PM|＝， |OM|＝. ∴＝， 化簡，得x＋y－1＝0， 即為所求的軌跡方程．] 4．已知線段AB的長為6，直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)M的軌跡方程是________． －＝1(x≠±3)　[以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(－3,0)，B(3,0)．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則直線AM的斜率kAM＝(x≠－3)，直線BM的斜率kBM＝(x≠3)．由已知有·＝(x≠±3)，化簡整理得點(diǎn)M的軌跡方程為－＝1(x≠±3)．] 考點(diǎn)1　直接法求軌跡方程

6、　直接法求曲線方程的關(guān)注點(diǎn) (1)若曲線上的動點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)→列式→化簡→檢驗(yàn)．求動點(diǎn)的軌跡方程時要注意檢驗(yàn)，即除去多余的點(diǎn)，補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)． (2)若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可；若是求軌跡，則要說明軌跡的形狀、位置、大小等． 　已知動點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0)． (1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀． [解]　(1)由題意可知，直線PM與PN的斜率均存在且均不為零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝

7、1(λ≠0，x≠±1)． 即動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． (2)當(dāng)λ＞0時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))； 當(dāng)－1＜λ＜0時， 軌跡C為中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長軸的兩個端點(diǎn))； 當(dāng)λ＝－1時，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓除去點(diǎn)(－1,0)，(1,0)． 當(dāng)λ＜－1時，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點(diǎn))． 　直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性，檢驗(yàn)可從以下兩個方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意義． [教師備

8、選例題] (2016·全國卷Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)． (1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ； (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　由題意知F， 設(shè)直線l1的方程為y＝a，直線l2的方程為y＝b， 則ab≠0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)證明：由于F在線段AB上，故1＋ab＝0. 記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則 k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.所以AR∥

9、FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)， 則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|， S△PQF＝. 由題意可得|b－a|＝， 所以x1＝0(舍去)，x1＝1. 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)． 當(dāng)AB與x軸不垂直時，由kAB＝kDE 可得＝(x≠1)． 而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)． 當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，滿足方程y2＝x－1. 所以所求的軌跡方程為y2＝x－1. 　已知兩點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)且點(diǎn)P使·，·，·成公差小于0的等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？ [解]　設(shè)P(x，y)，由M(－1,0

10、)，N(1,0)得 ＝－＝(－1－x，－y)， ＝－＝(1－x，－y)， ＝－＝(2,0)， 所以·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1， ·＝2(1－x)． 于是·，·，·是公差小于0的等差數(shù)列等價于即 所以點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓(不含端點(diǎn))． 考點(diǎn)2　定義法求軌跡方程 　(1)若動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律符合圓錐曲線的定義或由定義易求得圓錐曲線方程中的關(guān)鍵量，則往往用圓錐曲線的定義法求解． (2)應(yīng)用定義法求曲線方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系式結(jié)合曲線的定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解． 　已知圓M：(x＋1)2

11、＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求 C的方程． [解]　由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R. 因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． [母題探究] 1．把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y

12、2＝1，求圓心P的軌跡方程． [解]　由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1,0)和定直線x＝－1的距離相等，所以根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以N(1,0)為焦點(diǎn)，以x軸為對稱軸、開口向右的拋物線，故其方程為y2＝4x. 2．在本例中，若動圓P過圓N的圓心，并且與直線x＝－1相切，求圓心P的軌跡方程． [解]　由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2＜|MN|＝6，由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支， 其方程為x2－＝1(x＞1)． 　利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果

13、不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進(jìn)行限制． 　1.在△ABC中，||＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且||－||＝2，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為________． －＝1(x＞)　[以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個切點(diǎn)．則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|. 所以|AB|－|AC|＝2， 所以點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0)，且a＝，c＝2， 所以b＝， 所以軌跡方程為－＝1(x＞)．] 2．(2019·長春模擬)已知橢圓C1：＋y2＝1(a>1)的離心率e＝，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l1

14、過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程． [解]　由e2＝＝＝，得a＝，c＝1， 故F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 由條件可知|MP|＝|MF2|， ∴點(diǎn)M的軌跡是以l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線， ∴C2的方程為y2＝4x. 考點(diǎn)3　相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程 　“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟 (1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，主動點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)； (2)求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式 (3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程． (4)檢驗(yàn)：

15、注意檢驗(yàn)方程是否符合題意． 　(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且·＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. [解]　(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)證明：由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，

16、·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 　本例第(1)問在求解中巧用“＝”實(shí)現(xiàn)了動點(diǎn)P(x，y)與另兩個動點(diǎn)M(x0，y0)，N(x0,0)之間的轉(zhuǎn)換，并借助動點(diǎn)M的軌跡求得動點(diǎn)P的軌跡方程；對于本例第(2)問的求解，采用的是“以算待證”的方法，即求得l的方程后，借助直線系的特點(diǎn)，得出直線過定點(diǎn)． [教師備選例題] 在直角坐標(biāo)系xOy中，長為＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別

17、在x軸、y軸上滑動，＝.記點(diǎn)P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積． [解]　(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以解得 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝＋，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)． 由題意知，直線AB的斜率存在． 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，代入曲

18、線E的方程，得 (k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－. y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點(diǎn)M在曲線E上， 知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1， 解得k2＝2. 這時|AB|＝|x1－x2|＝＝， 原點(diǎn)到直線AB的距離d＝＝， 所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝. 　1.(2019·太原模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，則△PF1F2的重心G的軌跡方程為(　　) A.＋＝1(y≠0)　　 B．＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋y2＝1(y≠0) C　

19、[依題意知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標(biāo)公式可得 即 代入橢圓C：＋＝1， 得重心G的軌跡方程為＋3y2＝1(y≠0)．] 2.(2019·沂州一中月考)如圖所示，動圓C1：x2＋y2＝t2,1