新編一輪優(yōu)化探究文數(shù)蘇教版練習(xí):第六章 第一節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法 Word版含解析

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1、 一、填空題 1.在數(shù)列{an}中,a1=6且an-an-1=+n+1(n∈N*,n≥2),則這個數(shù)列的通項公式an=________. 解析:由題意得=+1,故數(shù)列{}是以=3為首項,1為公差的等差數(shù)列,故=3+1·(n-1)=n+2,故an=(n+1)(n+2). 答案:(n+1)(n+2) 2.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+1=(2n-λ)an(n=1,2,…),則a3等于________. 解析:∵an+1=(2n-λ)an,a2=3,a1=1, ∴3=(2×1-λ)×1,∴λ=-1,∴an+1=(2n+1)an, ∴a3=(2×2+1)×a2=5×3=

2、15. 答案:15 3.若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N*),則a17=________. 解析:由已知得a1=1,a2=2,a3=2,a4=1,a5=,a6=,a7=1,a8=2,a9=2,a10=1,a11=,a12=,即an的值以6為周期重復(fù)出現(xiàn),故a17=. 答案: 4.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+kn+2,若對所有的n∈N*,都有an+1>an成立,則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析:an+1>an,即(n+1)2+k(n+1)+2>n2+kn+2, 則k>-(2n+1)對所有的n∈N*都成立,而當(dāng)n=1時-(2n+1)

3、取得最大值-3,所以k>-3. 答案:k>-3 5.?dāng)?shù)列{an}滿足an+an+1=(n∈N*),a2=2,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S21=________. 解析:∵an+an+1=(n∈N*), ∴a1=-a2=-2,a2=2,a3=-2, a4=2,…,故a2n=2,a2n-1=-2. ∴S21=10×+a1=5+-2=. 答案: 6.已知數(shù)列{an}滿足:a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,則a2 014=________. 解析:a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0. 答案:0 7.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),若對任

4、意的正整數(shù)p、q,總有ap+q=ap·aq,且a8=16,則a10=________. 解析:由an>0且ap+q=ap·aq得16=a8=a=a=a, a1=,∵ap+1=ap·a1=ap,∴a10=a9=2a8=32. 答案:32 8.定義“等積數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積. 已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列,且a1=2,公積為5,Tn為數(shù)列{an}前n項的積,則T2 015=________. 解析:T2 005=a1(a2a3)·(a4a5)…(a2 014·a2 015)=2·51 007.

5、 答案:2·51 007 9.如圖是一個n層(n≥2)的六邊形點陣.它的中心是一個點,算作第一層,第2層每邊有2個點,第3層每邊有3個點,……,第n層每邊有n個點,則這個點陣的點數(shù)共有________個. 解析:每層的點數(shù)可構(gòu)成數(shù)列{an},結(jié)合圖形可知a1=1,a2=6,…,an=an-1+6(n≥3), 那么,前n層所有點數(shù)之和為Sn=1+ =3n2-3n+1. 答案:3n2-3n+1 二、解答題 10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),求該數(shù)列的通項公式. 解析:由S1=1得a1=1,又由S2=

6、2可知a2=1. ∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2), ∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2), 即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N*且n≥2), ∴an+1=2an(n∈N*且n≥2), 故數(shù)列{an}從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列. ∴數(shù)列{an}的通項公式為an=,(n∈N*). 11.已知二次函數(shù)f(x)=x2-ax+a(x∈R)同時滿足:①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素;②在定義域內(nèi)存在0f(x2)成立.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n). (1)求函數(shù)f

7、(x)的表達(dá)式; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解析:(1)∵不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素, ∴Δ=a2-4a=0,解得a=0或a=4.當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上遞增,不滿足條件②; 當(dāng)a=4時,函數(shù)f(x)=x2-4x+4在(0,2)上遞減,滿足條件②. 綜上得a=4,即f(x)=x2-4x+4. (2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2, 當(dāng)n=1時,a1=S1=1; 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5. ∴an=. 12.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+

8、an=2n-6. (1)設(shè)bn=an+1-an,求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)求n為何值時an最?。? 解析:(1)由an+2-2an+1+an=2n-6得, (an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6, ∴bn+1-bn=2n-6. 當(dāng)n≥2時,bn-bn-1=2(n-1)-6, bn-1-bn-2=2(n-2)-6, … b3-b2=2×2-6, b2-b1=2×1-6, 累加得bn-b1=2(1+2+…+n-1)-6(n-1) =n(n-1)-6n+6=n2-7n+6. 又b1=a2-a1=-14,bn=n2-7n-8(n≥2), n=1時,b1也適合此式,故bn=n2-7n-8. (2)由bn=(n-8)(n+1),得an+1-an=(n-8)(n+1). ∴當(dāng)n<8時,an+18時,an+1>an, 故當(dāng)n=8或n=9時an的值最小.

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