高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案： 曲線與方程備考策略

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1、 曲線與方程備考策略 主標(biāo)題：曲線與方程備考策略 副標(biāo)題：為學(xué)生詳細(xì)的分析曲線與方程的高考考點(diǎn)、命題方向以及規(guī)律總結(jié) 關(guān)鍵詞：曲線與方程，知識總結(jié)備考策略 難度：5 重要程度：3 內(nèi)容： 一、曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解． (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線． 二、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟 1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)． 2．寫出適合條件p的點(diǎn)

2、M的集合P＝{M|p(M)}． 3．用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化簡． 4．說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 思維規(guī)律解題： | 例1．(2015·深圳調(diào)研)已知點(diǎn)F(0,1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4y　　　　　　 B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 答案 A 解析：選A　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)． ∵·＝·， ∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即2(y＋1)＝x2－2(y－

3、1)，整理得x2＝4y， ∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y. 例2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0)．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為________________________． 答案：x2－＝1(λ≠0，x≠±1) 解析：由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN＝·＝λ， 整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． 即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． | 例3.如圖，已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,0)，B(1,0)，圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別

4、為P，Q，R，|CP|＝1(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長相等)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M. (1)求曲線M的方程； (2)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí)，求直線BC的方程． 解：(1)由題知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|， 所以曲線M是以A，B為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點(diǎn))． 設(shè)曲線M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)， 則a2＝4，b2＝a2－2＝3， 所以曲線M：＋＝1(y≠0)為所求． (2)如圖，由題意知直線BC的斜率不為0，且過定點(diǎn)B(1,0)， 設(shè)lBC：

5、x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 所以 因?yàn)椋?my1＋2，y1)，＝(my2＋2，y2)， 所以·＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4 ＝－－＋4＝. 因?yàn)辄c(diǎn)A在以CD為直徑的圓上， 所以·＝0，即m＝±， 所以直線BC的方程為3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0. |(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研) 例4.(2015·廣州模擬)在圓x2＋y2＝4上任取一點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P在x軸上的正投影為點(diǎn)D.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M滿足＝2，動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡為曲線C. (

6、1)求曲線C的方程； (2)已知點(diǎn)E(1,0)，若A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足EA⊥EB，求·的取值范圍． 解：(1)法一：由＝2知點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)． 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,2y)． 因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4. 所以曲線C的方程為＋y2＝1. 法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0，y0)， 由＝2，得x0＝x，y0＝2y. 因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上， 所以x＋y＝4. ① 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4. 所以曲線C的方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)?/p>

7、EA⊥EB，所以·＝0. 所以·＝·(－)＝. 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，則＋y＝1，即y＝1－. 所以·＝＝(x1－1)2＋y＝x－2x1＋1＋1－＝x－2x1＋2＝2＋. 因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)在曲線C上，所以－2≤x1≤2. 所以≤2＋≤9. 所以·的取值范圍為. 規(guī)律總結(jié)： 1．直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略 (1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可直接代入即可得出方程． (2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程． 2．由曲線方程討論曲線類型的關(guān)鍵是確定參數(shù)的分段值．參數(shù)分段的確定標(biāo)準(zhǔn)，一般有兩類： (1)二次項(xiàng)系數(shù)為0的值； (2)二次項(xiàng)系數(shù)相等的值． 3．運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出方程． 4．定義法和待定系數(shù)法適用于已知軌跡是什么曲線，其方程是什么形式的方程的情況．利用條件把待定系數(shù)求出來，使問題得解．