（浙江專版）2018年高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)列 新人教A版必修5.doc

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階段質(zhì)量檢測(cè)（二） 數(shù)列 (時(shí)間120分鐘　滿分150分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．等比數(shù)列{an}的公比q＝－，a1＝，則數(shù)列{an}是(　　) A．遞增數(shù)列　　　　　　 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 解析：選D　因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…，所以數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列． 2．若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項(xiàng)，且a＋3b＋c＝10，則a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．－4 解析：選D　由題意，得 解得a＝－4，b＝2，c＝8. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝(－1)n2an－1(n≥2)，則a5等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選B　∵a1＝，an＝(－1)n2an－1， ∴a2＝(－1)22＝， a3＝(－1)32＝－， a4＝(－1)42＝－， a5＝(－1)52＝. 4．在等比數(shù)列{an}中，已知前n項(xiàng)和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為(　　) A．－1 B．1 C．5 D．－5 解析：選D　因?yàn)镾n＝5n＋1＋a＝55n＋a，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝＝－qn，可知其常數(shù)項(xiàng)與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a＝－5. 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則254是該數(shù)列的(　　) A．第8項(xiàng) B．第10項(xiàng) C．第12項(xiàng) D．第14項(xiàng) 解析：選D　當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝則2－2＝254，n＝14，故選D. 6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，則a2＝(　　) A．2 B. C．3 D. 解析：選C　∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＋＋＝，∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，∴a2＝3.故選C. 7．如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列，那么an＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題知a1＝1，q＝，則an－an－1＝1n－1. 設(shè)數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n項(xiàng)和為Sn， ∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an. 又∵Sn＝＝， ∴an＝. 8．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝－2 014，－＝2，則S2 016的值為(　　) A．－2 016 B．2 016 C．2 015 D．－2 015 解析：選B　因?yàn)镾n為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以數(shù)列是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列的公差為d′，則由－＝2，得2d′＝2，解得d′＝1，所以＝＋2 015d′＝a1＋2 015d′＝－2 014＋2 015＝1，所以S2 016＝2 016. 二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．把答案填在題中橫線上) 9．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則a1＝________，d＝________，S10＝________. 解析：由已知得， 解得a1＝20，d＝－2， ∴S10＝1020＋(－2)＝110. 答案：20　－2　110 10．(浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________. 解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， ∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3， ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列， ∴＝3. 又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1， ∴S5＋＝34＝34＝， ∴S5＝121. 答案：1　121 11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2 015－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________． 解析：由an＝2 015－3n>0，得n<＝671， 又∵n∈N*，∴n的最大值為671. 答案：671 12．某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 解析：每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，則n＋1≥7，即n≥6. 答案：6 13．已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2n(n∈N*)，a1＝3，則an＝________，的最小值為________． 解析：∵an＋1－an＝2n， ∴a2－a1＝21， a3－a2＝22， a4－a3＝23， … an－an－1＝2(n－1)， 以上各式相加可得 an－a1＝2＝2 ＝n2－n， ∵a1＝3，∴an＝n2－n＋3. ∴＝n＋－1. ∵f(x)＝x＋在(0，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增， 又＝1＋－1＝3，＝2＋－1＝，所以的最小值為. 答案：n2－n＋3　 14．已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn，且滿足＝，則＝________. 解析：根據(jù)題意，由＝，可設(shè)：An＝2n2，Bn＝n(n＋3)，則： a1＝A1＝2, 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝An－An－1＝4n－2， b1＝B1＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Bn－Bn－1＝2n＋2， ∴＝＝＝. 答案： 15．定義函數(shù)f(x)＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整數(shù)，如{1.2}＝2，{－2.6}＝－2.當(dāng)x∈(0，n](n∈N*)時(shí)，函數(shù)f(x)的值域記為An，記An中元素的個(gè)數(shù)為an，則an＝________，＋＋…＋＝________. 解析：當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，{x}＝1，x{x}＝x，則f(x)＝{x{x}}＝1，即A1＝{1}，故a1＝1； 當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，{x}＝1,2，x{x}＝x或2x，則f(x)＝{x{x}}＝1,3,4，即A2＝{1,3,4}，故a2＝3； 當(dāng)x∈(0,3]時(shí)，{x}＝1,2,3，x{x}＝x或2x或3x，則f(x)＝{x{x}}＝1,3,4,7,8,9，即A3＝{1,3,4,7,8,9}，故a3＝6； 同理可得a4＝10，注意到an＝， 所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝. 答案：　 三、解答題(本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16．(14分)已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)確定． (1)求證：是等差數(shù)列； (2)當(dāng)x1＝時(shí)，求x2 016. 解：(1)證明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)， ∴＝＝＋， ∴－＝(n≥2且n∈N*)， ∴是等差數(shù)列． (2)由(1)知＝＋(n－1)＝2＋＝. ∴＝＝. ∴x2 016＝. 17．(15分)在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差數(shù)列，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C也成等差數(shù)列，試判斷此三角形的形狀． 解：∵A，B，C成等差數(shù)列，∴2B＝A＋C. 又∵A＋B＋C＝π，∴3B＝π，即B＝，A＋C＝π. ∵lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差數(shù)列， ∴2lg sin B＝lg sin A＋lg sin C， 即sin2B＝sin Asin C. 又∵B＝，∴sin B＝. ∴sin Asin C＝sin2B＝. 又∵cos(A＋C)＝cos Acos C－sin Asin C， cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C， ∴sin Asin C＝－[cos(A＋C)－cos(A－C)]． ∴－＝. ∴＋cos(A－C)＝， ∴cos(A－C)＝1. ∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝. ∴A＝B＝C. ∴△ABC是等邊三角形． 18．(15分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an1，又a1＝1，則a2＝q，a3＝q2， 因?yàn)镾3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1， 則1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，bn＝(2n－1)an＝(2n－1)2n－1(n∈N*)， 則Tn＝120＋321＋522＋…＋(2n－1)2n－1， 2Tn＝121＋322＋523＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n， 兩式相減，得－Tn＝1＋221＋222＋…＋22n－1－(2n－1)2n， 即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)2n， 化簡得Tn＝(2n－3)2n＋3. 19．(15分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝55，S20＝210. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)設(shè)bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知，得 即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)． (2)假設(shè)存在m，k(k>m≥2，m，k∈N*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列，則b＝b1bk. 因?yàn)閎n＝＝， 所以b1＝，bm＝，bk＝， 所以2＝. 整理，得k＝. 以下給出求m，k的方法： 因?yàn)閗>0，所以－m2＋2m＋1>0， 解得1－1， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，{cn}為遞增數(shù)列， ∴cn≥c2＝， ∴t的取值范圍為. 法二：∵tan＋1(an－1)＋1≥0對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，即t＋1≥0恒成立， ∴t≤對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立． 令n－1＝m，∴t≤＝2m＋＋4， 令f(m)＝2m＋＋4， ∵2m≥2，m∈N*，f(m)在單調(diào)遞增， ∴t≤f(m)min＝f(1)＝， ∴t的取值范圍為.