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1、
熱點探究訓練(六)
A組 基礎達標
(建議用時：30分鐘)
1．(2017·揚州模擬)如圖3，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，O為坐標原點，M在PF1上，＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M.
圖3
(1)若橢圓方程為＋＝1，P(2，)，求點M的橫坐標；
(2)若λ＝2，求橢圓離心率e的取值范圍. 【導學號：62172281】
[解] (1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝.
∴直線F2M的方程為y＝－(x－2)，直線F1M的方程為：y＝(x＋2)．
由
解得x＝，
∴點M的橫坐標
2、為.6分
(2)設P(x0，y0)，M(xM，yM)，
∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，＝.
∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，∴x0＋y＝0，
即x＋y＝2cx0.
聯(lián)立方程得，消去y0得：c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0.
解得x0＝或x0＝.
∵－a.
綜上，橢圓離心率e的取值范圍為.14分
2．(2017·無錫期末)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率為，一個焦點到相應的準線的距離為3，圓N的方程為(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c為半焦距)，直線l ：
3、y＝kx＋m(k>0)與橢圓M和圓N均只有一個公共點，分別設為A，B.
(1)求橢圓方程和直線方程；
(2)試在圓N上求一點P，使＝2.
[解] (1)由題意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，
所以橢圓M的方程為：＋＝1.
圓N的方程為(x－1)2＋y2＝5.
由直線l：y＝kx＋m與橢圓M只有一個公共點，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.②
由直線l：y＝kx＋m與N只有一個公共點，得＝，
即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③
將②代入③得km＝1，④
由②，④且k>0
4、，得：k＝，m＝2.
所以直線方程為：y＝x＋2.6分
(2)將k＝，m＝2代入①可得A，
又過切點B的半徑所在的直線l′為：y＝－2x＋2，所以得交點B(0,2)，設P(x，y)，因為＝2，
則＝8，化簡得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤
又P(x，y)滿足x＋y－2x0＝4，⑥
將⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦
將⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－，
所以P(－1,1)或P.14分
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．(2017·泰州中學高三摸底考試)已知橢圓Γ：＋y2＝1.
(1)橢圓Γ的短軸端
5、點分別為A，B(如圖4)，直線AM，BM分別與橢圓Γ交于E，F(xiàn)兩點，其中點M滿足m≠0，且m≠±.
①證明直線EF與y軸交點的位置與m無關；
②若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值．
(2)若圓O：x2＋y2＝4.l1，l2是過點P(0，－1)的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)1交圓O于T，R兩點，l2交橢圓Γ于另一點Q.求△TRQ面積取最大值時直線l1的方程. 【導學號：62172282】
圖4
[解] (1)①因為A(0,1)，B(0，－1)，M，且m≠0，∴直線AM的斜率為k1＝－，直線BM的斜率為k2＝，
∴直線AM的方程為y＝－x＋1，直線BM的方程為y＝x－1，
6、
由得(m2＋1)x2－4mx＝0，
∴x＝0，x＝，∴E，
由得(m2＋9)x2－12mx＝0，
∴x＝0或x＝，∴F；
據(jù)已知m≠0，m2≠3，
∴直線EF的斜率
k＝＝＝－，
∴直線EF的方程為y－＝－，
令x＝0，得y＝2，
∴EF與y軸交點的位置與m無關．
②S△AMF＝MA·MFsin ∠AMF，
S△BME＝MB·MEsin ∠BME，∠AMF＝∠BME，
5S△AMF＝S△BME，∴5MA·MF＝MB·ME，
∴＝，
∴＝.
∵m≠0，
∴整理方程得＝－1，即(m2－3)(m2－1)＝0，
又有m≠±，∴m2－3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1為所
7、求.8分
(2)因為直線l1⊥l2，且都過點P(0，－1)，所以設直線l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0，
直線l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0，
所以圓心(0,0)到直線l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0的距離d＝，
所以直線l1被圓x2＋y2＝4所截的弦
TR＝2＝；
由得k2x2＋4x2＋8kx＝0，
所以xQ＋xp＝－，所以QP＝＝，
所以S△TRQ＝QP·TR＝＝≤＝，
當＝，即k2＝，解得k＝±時等號成立，
此時直線l1：y＝±x－1.16分
2．(2017·蘇北四市期末)如圖5，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率
8、e＝，左頂點為A(－4,0)，過點A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E.
圖5
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
(3)若過點O作直線l的平行線交橢圓C于點M，求的最小值．
[解] (1)因為左頂點為A(－4,0)，所以a＝4，
又e＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝12，
所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)直線l的方程為y＝k(x＋4)，由消元得，＋＝1.
化簡得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，所以x1＝－4
9、，x2＝.8分
當x＝時，y＝k＝，所以D.
因為P為AD的中點，
所以P的坐標為，kOP＝－(k≠0)，
直線l的方程為y＝k(x＋4)，令x＝0得E點坐標為(0,4k)，
假設存在定點Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，則kOP·kEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，
所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即
所以存在定點Q，對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，且定點Q的坐標為(－3,0).12分
(3)因為OM∥l，所以OM的方程可設為y＝kx，
由得M點的橫坐標為x＝±，
由OM∥l，得＝＝
＝＝·
＝≥2，
當且僅當＝即k＝±時取等號，
所以當k＝±時，的最小值為2.16分
高考數(shù)學 17-18版 第9章 熱點探究訓練6
