高中數(shù)學：必修五 第三章 不等式習題 （含答案）

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1、 第三章 不等式 一、選擇題. 1. 若 a∈R，則下列不等式恒成立的是(　 　)． A. a2 + 1＞a B.＜1 C. a2 + 9＞6a D. lg(a2 + 1)＞lg|2a| 2. 下列函數(shù)中，最小值為 2 是(　 　)． A. y =，x∈R，且 x≠0 B. y = lgx +，1＜x＜10 C. y = 3x + 3-x，x∈R D. y = sin x +， 3. 不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于(　 　)． A. 28 B. 16 C. D. 121 4. 不等式 lgx2＜lg2x 的解集是(　 　)． A. B. (10

2、0，＋∞) C. ∪(100，＋∞) D. (0，1)∪(100，＋∞) 5. 不等式(x4 - 4)-(x2 - 2)≥0 的解集是(　 　)． A. x≥或 x≤- B. -≤x≤ C. x＜-或 x＞ D. -＜x＜ 6. 若 x，y∈R，且 x + y = 5，則 3x + 3y 的最小值是(　 　)． A. 10 B. C. D. 7. 若 x＞0，y＞0，且 ，則 xy 有(　 　)． A. 最大值 64 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 64 8. 若，則目標函數(shù) z = 2x + y 的取值范圍是(　 　)．

3、A. [0，6] B. [2，4] C. [3，6] D. [0，5] 9. 若不等式 ax2 + bx + c＞0 的解是 0＜α＜x＜β，則不等式 cx2 - bx + a＞0 的解為(　 　)． A. ＜x＜ B. -＜x＜- C. -＜x＜- D. ＜x＜ 10. 若 a＞0，b＞0 ，且 ，則的最小值是(　 　)． A. 9 B. 8 C. D. 6 二、填空題. 1. 函數(shù) 的定義域是 ． 2. 若 x，y 滿足 ，則的最大值為_____ __，最小值為____ __． 3. 函數(shù) 的最

4、大值為 ． 4. 若直角三角形斜邊長是 1，則其內切圓半徑的最大值是 ． 5. 若集合 A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y - x)(y + x)≤0}，M = A∩B，則 M 的面積為___________． 6. 若不等式 2x - 1＞m(x2 - 1)對滿足 -2≤m≤2 的所有 m 都成立，則 x 的取值范圍是 ． 三、解答題． 1. 若奇函數(shù) f(x)在其定義域(-2，2)上是減函數(shù)，且 f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求實數(shù) a 的取值范圍．

5、 2. 已知 a＞b＞0，求的最小值． (選)3. 設實數(shù) x，y 滿足不等式組 ． （1）作出點(x，y)所在的平面區(qū)域； （2）設 a＞-1，在（1）所求的區(qū)域內，求f(x，y)= y – ax 的最大值和最小值． 4. 某工廠擬建一座平面圖形為矩形，且面積為 200 m2 的三級污水處理池（平面圖如右）. 如果池外圈周壁建造單價為每米 400 元，中間兩條隔墻建筑單價為每米 248 元，池底建造單價為每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不計. 試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價．

6、 參考答案 一、選擇題． 1. A 【解析】A：a2 - a + 1 = a2 - a +=+＞0. a2 + 1＞a 恒成立． B：當 a = 0 時，左 = 右． C：當 a = 3 時，左 = 右． D：當 a = ±1 時，左 = 右． 2. C 【解析】A：y沒有最小值． B：∵ 1＜x＜10， ∴ 0＜lg x＜1． ∴ y≥2． lg x=1，即x =10時，ymin = 2． 此時不符合1＜x＜10． C：∵ 3x＞0， ∴ y = 3x +≥2． x = 0時，ymin = 2． D：∵ 0＜x＜， ∴ sin x＞0．

7、∴ y≥2． 當 sin x =時，此時 sin x = 1，x =，不符合 0＜x＜． 3. B 【解析】由不等式組，畫出符合條件的平面區(qū)域（下圖陰影部分）. 解兩兩直線方程組成的方程組，可得 A(3，5)，B(3，-3)， C(-1，1)． ∴ S陰 =· |AB| · |xA - xc| = ×8×4 = 16． 4. D 【解析】∵ ∴ x＞0．∵ lg x2＜lg2x，∴ lg2x - 2lg x＞0．∴ lg x＞2 ，或 lg x＜0，∴ x＞100 ，或 0＜x＜1． 5. A 【解析】∵（x4 - 4）-（x2 - 2）≥ 0，∴ x4 - x2 -

8、2≥0，∴（x2 - 2）（x2 + 1）≥0.∴ x2≥2． ∴ x≥，或 x≤-． 6. D 【解析】 3x + 3y≥2= 2， ∴ 3x + 3y≥2×9×= 18，當 x = y = 時，等號成立． 7. D 【解析】 ≥2= 8，當，即 時，8取最大值，即 xy 取最小值 64． 8. A 【解析】 據(jù)不等式組畫出可行域． 易知 A(-1，2)，B(2，2)． 將 y = -2x 進行平移，當直線過 A 點時，zmin = 0， 當直線過 B 點時，zmax = 6． 9. C 【解析】由題知， 且

9、a＜0. ∴ b = -a(a + b )， c = a(ab )． ∴ 所求不等式可代為 a(ab )x2 + a(a + b )x + a＞0． ∴(ab )x2 +(a + b )x + 1＜0． ∴(ax + 1)(bx + 1)＜0． ∵ 0＜a＜b， ∴ -＜-． ∴ -＜x＜-． 10. A 【解析】 =+ 1 =+ 1 =+1≥+ 1 = 9．∴ 當 a = b=時，原式取最小值 9． 二、填空題． 1. （-8，8）． 【解析】∵ 64 - x2＞0 ∴ x2＜64，-8＜x＜8，即(-8，8)． 2. 2，0. 【解析】 據(jù)不等式組畫出可

10、行域． 由圖可知，，0． 3. ． 【解析】設 x = cos q，q∈[0，π]． ∴ y = cos q sin q =sin 2q． ∵ q∈[0，π]，∴ 2q∈[0，2π]， ∴ ymax =，此時 q =，x = cos=． 4. ． 【解析】 如圖，r ==≤==. 當且僅當 a = b = 時， rmax =． 5. 1． 【解析】如圖，M為陰影部分. M的面積為= 1． 6. ＜x＜． 【解析】令 f(m)= m(x2 - 1)-(2x - 1)(x≠±1)，把它看作關于 m 的一次函數(shù)． 由于 -2≤m≤2 時，f(m)＜0 恒成立

11、， 解得 1＜x＜，或＜x＜1，又x = 1 時，亦符合題意． ∴ ＜x＜． 三、解答題． 1. 由f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，得 f(1 - a)＜- f(1 - a2). 又因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以- f(1 - a2) = f(a2 - 1)． ∴ f(1 - a)＜ f(a2 - 1). 又∵ 函數(shù) f(x) 在其定義域(-2，2)上是減函數(shù)， ∴ a∈（-1，1）． 2. 由 a＞b＞0 知，a - b＞0， ∴ b（a - b）≤． ∴ a2 +≥a2 +≥2= 16． 當且僅當 a2 =，b = a - b， 即當 a = 2，b =時，a2 +取得最小值 16． 3. （1）（-3，7） 【解析】 （2） 最大值為7+3a，最小值為 4. 【解】設污水池總造價為 y 元，污水池長為 x m. 則寬為m，水池外圈周壁長2x + 2 · （m），中間隔墻長2 · （m），池底面積200（m2）． ∴ y = 400+ 248 · · 2 + 80×200 = 800+ 16 000 ≥1 600+ 16 000 = 44 800． 當且僅當 x =，即 x = 18，=時，ymin = 44 800． 答：當污水池長為 18 m，寬為m 時，總造價最低，最低為 44 800元．