高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第2章 第64課 課時分層訓練8

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1、 課時分層訓練(八) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．(2017·蘇州模擬)如圖64-10，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1. 圖64-10 (1)求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值； (2)求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值． [解]　∵DA，DC，DD1兩兩垂直， ∴以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸， 建立空間直角坐標系，如圖所示， ∵棱長為3，A1E＝CF＝1， 則D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,3)，A1(3,0,3)，B1(3,3,3

2、)，C1(0,3,3)，E(3,0,2)，F(xiàn)(0,3,1)， ∴＝(－3,3,3)，＝(3,0，－1) ∴cos〈，〉＝＝－.所以兩條異面直線AG與D1E所成的余弦值為－. (2)設平面BED1F的法向量是n＝(x，y，z)，又∵＝(0，－3,2)，＝(－3,0,1)， n⊥，n⊥，∴n·＝n·＝0， 即，令z＝3，則x＝1，y＝2，所以n＝(1,2,3)，又＝(－3,3,3)， ∴cos〈，n〉＝＝， ∴直線AC1與平面BED1F所成角是－〈，n〉， 它的正弦值是sin＝cos〈，n〉＝. 2．(2017·南京模擬)如圖64-11，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面

3、互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點． 圖64-11 (1)求二面角A-DF-B的大??； (2)試在線段AC上確定一點P，使PF與BC所成的角是60°. 【導學號：62172344】 [解]　(1)以，，為正交基底，建立空間直角坐標系， 則E(0,0,1)，D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)，B(0，，0)，A(，，0)，＝(，－，0)，＝(，0,1)．平面ADF的法向量t＝(1,0,0)， 設平面DFB法向量n＝(a，b，c)，則n·＝0，n·＝0， 所以令a＝1，得b＝1，c＝－，所以n＝(1,1，－)． 設二面角A-DF-B的大小為θ， 從而cos θ＝|c

4、os 〈n，t〉|＝，∴θ＝60°， 故二面角A-DF-B的大小為60°. (2)依題意，設P(a，a,0)(0≤a≤)，則＝(－a，－a,1)，＝(0，，0)． 因為〈，〉＝60°，所以cos 60°＝＝，解得a＝， 所以點P應在線段AC的中點處． 3．(2017·泰州期末)如圖64-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)設＝λ，異面直線AC1與CD所成角的余弦值為，求λ的值； 圖64-12 (2)若點D是AB的中點，求二面角D-CB1-B的余弦值． [解]　(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5得∠ACB＝90°，

5、以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，設D(x，y，z)，則由＝λ得＝(3－3λ，4λ，0)， 而＝(－3,0,4)， 根據(jù)＝， 解得λ＝或λ＝－. (2)＝，＝(0,4,4)，可取平面CDB1的一個法向量為n1＝(4，－3,3)． 而平面CBB1的一個法向量為n2＝(1,0,0)，并且〈n1n2〉與二面角D-CB1-B相等， 所以二面角D-CB1-B的余弦值為cos θ＝cos〈n1，n2〉＝. 4．(2017·揚州期中)如圖64-13，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，A

6、B⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1. 圖64-13 (1)求AA1的長． (2)在線段BB1存在點P，使得二面角P-A1C-A大小的余弦值為，求的值. 【導學號：62172345】 [解]　(1)以AB，AC，AA1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標， 設BB1＝t， 則A(0,0,0)，C1(0,4，t)，B1(3,0，t)，C(0,4,0) ∴＝(0,4，t)， ＝(－3,4，－t) ∵B1C⊥AC1， ∴·＝0， 即16－t2＝0，由t>0，解得t＝4，即AA1的長為4. (2)設P(3,0，m)，又A(0,0,0)，C(0,4,

7、0)，A1(0,0,4) ∴＝(0,4，－4)，＝(3,0，m－4)，且0≤m≤4 設n＝(x，y，z)為平面PA1C的法向量， ∴n⊥，n⊥， ∴取z＝1，解得y＝1，x＝， ∴n＝為平面PA1C的一個法向量． 又知＝(3,0,0)為平面A1CA的一個法向量，則cos〈n，〉＝. ∵二面角P-A1C1-A大小的余弦值為， ∴＝， 解得m＝1，∴＝. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·蘇州市期中)在如圖64-14所示的四棱錐S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC＝a，AD＝3a(a>0)，E為線段BS上的一

8、個動點． 圖64-14 (1)證明DE和SC不可能垂直； (2)當點E為線段BS的三等分點(靠近B)時，求二面角S-CD-E的余弦值． [解]　(1)證明：∵SA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°， ∴AB，AD，AS兩兩垂直． 以A為原點，AB，AD，AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)． 則S(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0,3a,0)(a>0)， ∵SA＝AB＝a且SA⊥AB， ∴設E(x,0，a－x)其中0≤x≤a， ∴＝(x，－3a，a－x)，＝(a，a，－a)， 假設DE和SC垂直，則·＝0， 即ax－3a2－a2＋a

9、x＝2ax－4a2＝0，解得x＝2a， 這與0≤x≤a矛盾，假設不成立，所以DE和SC不可能垂直． (2)∵E為線段BS的三等分點(靠近B)， ∴E. 設平面SCD的一個法向量是n1＝(x1，y1，z1)，平面CDE的一個法向量是n2＝(x2，y2，z2)， ∵＝(－a,2a,0)，＝(0,3a，－a)， ∴， 即，即，取n1＝(2,1,3)， ∵＝(－a,2a,0)， ＝， ∴，即， 即， 取n2＝(2,1,5)， 設二面角S-CD-E的平面角大小為θ，由圖可知θ為銳角， ∴cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， 即二面角S-CD-E的余弦值為. 2．(

10、2017·南通模擬)如圖64-15，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，PA⊥平面ABCD. 圖64-15 (1)求PB與平面PCD所成角的正弦值； (2)棱PD上是否存在一點E滿足∠AEC＝90°？若存在 ，求AE的長；若不存在，說明理由． [解]　(1)依題意，以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系A-xyz， 則P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 從而＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,2，－1)， 設平面PCD的法向量

11、為n＝(a，b，c)，則n·＝0，且n·＝0，即a＋b－c＝0，且2b－c＝0，不妨取c＝2，則b＝1，a＝1，所以平面PCD的一個法向量為n＝(1,1,2)，此時cos〈，n〉＝＝－， 所以PB與平面PCD所成角的正弦值為. (2)設＝λ(0≤λ≤1)，則E(0,2λ，1－λ)， 則＝(－1,2λ－1,1－λ)，＝(0,2λ，1－λ)， 由∠AEC＝90°得， ·＝2λ(2λ－1)＋(1－λ)2＝0， 化簡得，5λ2－4λ＋1＝0，該方程無解， 所以，棱PD上不存在一點E滿足∠AEC＝90°. 3．(2017·南京鹽城一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2

12、，AC＝4，AA1＝2，＝λ. 圖64-16 (1)若λ＝1，求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值； (2)若二面角B1-A1C1-D的大小為60°，求實數(shù)λ的值． [解]　分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系(圖略)． 則A(0,0,0，)B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2) (1)當λ＝1時，D為BC的中點，所以D(1,2,0)，＝(1，－2,2)，＝(0,4,0)，＝(1,2，－2)， 設平面A1C1D的法向量為n1＝(x，y，z) 則所以取n1＝(2,0,1)，又cos〈，n

13、1〉＝＝＝ ， 所以直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為. (2)∵＝λ，∴D， ∴＝(0,4,0)，＝， 設平面A1C1D的法向量為n1＝(x，y，z)， 則 所以取n1＝(λ＋1,0,1)． 又平面A1B1C1的一個法向量為n2＝(0,0,1)， 由題意得|cos〈n1，n2〉|＝， 所以＝，解得λ＝－1或λ＝－－1(不合題意，舍去)． 所以實數(shù)λ的值為－1. 4．(2017·無錫模擬) 如圖64-17，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC

14、＝2. 圖64-17 (1)在平面ABCD內找一點F，使得D1F⊥平面AB1C； (2)求二面角C－B1A－B的平面角的余弦值． [解]　(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz， 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，－1,1)，設F(a，b,0)，則＝(a，b－1，－1)， 由 得a＝b＝， 所以F， 即F為AC的中點． (2)由(1)可取平面B1AC的一個法向量n1＝＝. 設平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)， 由得 取n2＝(0,1,1)． 則cos〈n1，n2〉＝＝－， 所以二面角C-B1A-B的平面角的余弦值為.