高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第3章 選修4－1 第70課 課時(shí)分層訓(xùn)練14

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(十四) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．如圖70-11，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點(diǎn)D. 圖70-11 求證：△ABD∽△AEB. [證明]　因?yàn)锳B＝AC. 所以∠ABD＝∠C. 又⊙O是三角形ABC的外接圓， 所以∠E＝∠C，從而∠ABD＝∠E. 又∠BAE＝∠BAD. 故△ABD∽△AEB. 2．(2017·泰州模擬)如圖70-12，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC＝2OC. 圖70-12 求證：AC＝2AD. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172368】 [證明]　連結(jié)OD

2、.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因?yàn)椤螦＝∠A， 所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB， 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD， 故AC＝2AD. 3．如圖70-13，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的長(zhǎng)． 圖70-13 [解]　由切割線定理，得PA2＝PC·PD. 因此PD＝＝＝12. 又PC＝3，所以CD＝PD－PC＝9. 由于CE∶ED＝2∶1， 因此CE＝6，ED＝3. 由相交弦定理，AE·EB＝CE·ED， 所以

3、BE＝＝＝2. 4．如圖70-14，在⊙O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F.證明： 圖70-14 (1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172369】 [證明]　(1)如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)， 所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD， 則∠OME＝90°，∠ENO＝90°， 因此∠OME＋∠ONE＝180°. 又四邊形的內(nèi)角和等于360°， 故∠MEN＋∠NOM＝180°. (2)由(1)知，點(diǎn)O，M，E，N四點(diǎn)共圓． 由割線定理，得FE·FN＝FM·FO. B

4、組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．如圖70-15，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC＝PD. 圖70-15 (1)求證：l是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑OA＝5，AC＝4，求CD的長(zhǎng)． [解]　(1)證明：連結(jié)OP，∵AC⊥l，BD⊥l， ∴AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD， ∴OP∥BD，從而OP⊥l. ∵點(diǎn)P在⊙O上， ∴l(xiāng)是⊙O的切線． (2)由(1)可得OP＝(AC＋BD)， ∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6. 過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，則 BE＝BD－A

5、C＝6－4＝2. ∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4， ∴CD＝4. 2．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)如圖70-16，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓． 圖70-16 (1)證明：直線AB與⊙O相切； (2)點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD. [證明]　(1)設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)OE. 因?yàn)镺A＝OB，∠AOB＝120°， 所以O(shè)E⊥AB，∠AOE＝60°. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切． (2)因?yàn)镺A＝2OD， 所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓

6、的圓心． 設(shè)O′是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心，作直線OO′. 由已知得O在線段AB的垂直平分線上， 又O′在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)O′⊥AB. 同理可證，OO′⊥CD，所以AB∥CD. 3．如圖70-17，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊BC與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上． 圖70-17 (1)若EF∥CD，證明：EF2＝FA·FB； (2)若EB＝3EC，EA＝2ED，求的值． [解]　(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，所以∠B＝∠CDE. 又EF∥CD，所以∠CDE＝∠FEA， 因此，∠B＝∠FEA. 而∠F為公共角， 所以△FAE∽△

7、FEB， 于是，＝，即EF2＝FA·FB. (2)由割線定理，得ED·EA＝EC·EB，即ED·2ED＝EC·3EC， 所以＝，即＝. 因?yàn)椤螧＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB， 于是，＝＝＝·＝. 4．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)如圖70-18，⊙O中的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)． 圖70-18 (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小； (2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明OG⊥CD. [解]　(1)如圖，連結(jié)PB，BC， 則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD， ∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因?yàn)椋剑? 所以∠PBA＝∠PCB. 又∠BPD＝∠BCD， 所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180°， 因此∠PCD＝60°. (2)證明：因?yàn)椤螾CD＝∠BFD， 所以∠EFD＋∠PCD＝180°， 由此知C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上， 故G就是過(guò)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)的圓的圓心， 所以G在CD的垂直平分線上． 又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD.