第一章計數(shù)原理32《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》

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1、1.3.2 1.3.2 楊輝三角與二項式楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)系數(shù)的性質(zhì)1.了解楊輝三角的簡單歷史，理解二項式系數(shù)的性質(zhì)，應用性質(zhì)解決一些簡單問題 2.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生的實際水平，通過對二項式系數(shù)表（楊輝三角）的觀察猜想、歸納出二項式系數(shù)的性質(zhì). 為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，在教法上采用“觀察、猜想、歸納、論述、證明、合作交流”的方法。多給學生一點空間、時間, 由學生觀察、探究與交流. 提高歸納猜想能力及表達能力,使學生獲得較全面的發(fā)展。讓學生通過對低階楊輝三角的觀察,猜想并歸納出二項式系數(shù)的性質(zhì)。 本節(jié)課從楊輝三角出發(fā)，直觀地認識二項式性質(zhì)，構造函數(shù) .), 2 , 1 , 0(nr

2、 rnCrf)( 利用函數(shù)的思想理解二項式系數(shù)的對稱性、增減性及最大值，并加以嚴格的證明，按知識的邏輯關系來編排內(nèi)容。二項式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式的第k+1項為Tk+1=Cnkan-kbk計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表： n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)展開式的二項式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對稱性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關系嗎？ 3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下

3、面的系數(shù)嗎?a).表中每行兩端都是表中每行兩端都是1。b).除除1外的每一個數(shù)都等外的每一個數(shù)都等 于它肩上兩個數(shù)的和于它肩上兩個數(shù)的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=當當n n不大時，可用該表來求二項式系數(shù)不大時，可用該表來求二項式系數(shù)。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因為：因為：1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C總結提煉1:110

4、1CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561對稱對稱總結提煉2: 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等mnnmnCC 當n為偶數(shù)如2、4、6時，中間一項最大當n為奇數(shù)如1、3、5時，中間兩項最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0

5、03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知識探究3:每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都

6、等于它肩上的兩個數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+九章算術九章算術楊輝楊輝詳解九章算法中記載的表楊輝三角楊輝三角 類似上面的表,早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個表稱為楊輝三角.在書中，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它.這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀.在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角.這就是說，楊輝三角

7、的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.二項式系數(shù)的性質(zhì) 展開式的二項式展開式的二項式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當當 時，其圖象是右時，其圖象是右圖中的圖中的7個孤立點個孤立點6n對稱性對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數(shù)相等的兩個二項式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸：圖象的對稱

8、軸：2nr 二項式系數(shù)的性質(zhì)增減性與最大值增減性與最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定knC1Cknkkn1二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì)由由：2111nkkkn 二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。 21nk 可知，當可知，當 時，時，增減性與最大值增減性與最大值 二項式系數(shù)的性質(zhì) 因此因此, ,當當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,中間一項的二項式中間一項的二項式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當當n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,中間兩項

9、的二項式系數(shù)中間兩項的二項式系數(shù) 12Cnn12Cnn相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。增減性與最大值增減性與最大值 二項式系數(shù)的性質(zhì)各二項式系數(shù)的和 在二項式定理中，令在二項式定理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項式系的展開式的各二項式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時由于同時由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 二項式系數(shù)的性質(zhì)例1.證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令

10、，則： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC1.( 1-x ) 13 的展開式中系數(shù)最小的項是( )(A)第6項 (B)第7項 （C）第8項 (D)第9項2.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一個燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1C CD練習 mCC.mnn同同時時有有最最大大值值，則則與與若若1934或5726701

11、267(1 2 ) xaa xa xa xa x已知7)21 ()(:xxf設解0) 1 ( a求：0 x （1）令70(0)(1 2 0)1,fa 即展開式右邊即為0(0)1af例例2726701267(1 2 ) xaa xa xa xa x已知7)21 ()(:xxf設解721071) 121 () 1 (aaaaf7321.) 2(aaaa1x （2）令1270170.()(1)(0)1 12aaaaaaaff 例例2726701267(1 2 ) xaa xa xa xa x已知1357(3)aaaa7)21 ()(:xxf設解0127(3)(1)faaaa01237( 1)faa

12、aaa 13572()(1)( 1)a aaaff 例例2642075317217722107)21 (.4aaaaaaaaaaaxaxaxaax則已知-2-10941093練習:小結：求奇次項系數(shù)之和與偶次項系數(shù)的和 可以先賦值，然后解方程組整體求解例3:在(3x -2y)20的展開式中，求系數(shù)最大的項;解:設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項.則2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 即即 3(r+1)2(20- -r) 得得 2(21- -r)3r所以當所以當r=8時，系數(shù)絕對值最大的項為時，系數(shù)絕對值最大的項為227855r81281289

13、2032TCx y楊輝三角的其它規(guī)律第0行11、楊輝三角的第2k-1行的各數(shù)字特點第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1楊輝三角的第2k-1行(k是正整數(shù))的各個數(shù)字都是奇數(shù)（質(zhì)數(shù)的積）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20

14、15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12、楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有數(shù)，則行數(shù)P是 質(zhì) 數(shù)質(zhì) 數(shù) ( 素 數(shù)素 數(shù) )思考1求證求證:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開后比較xn的系數(shù)得：再由 得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC思考2求證：求證：01

15、2123122nnnnnnCCCnCn證明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01223122nnnnnnCCCnCn倒序相加法 試證明在(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.即證：021312nnnnnCCCC 證明：在展開式證明：在展開式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 啟示：在二項式定理中，對a,b賦予一

16、些特定的值，是解決二項式有關問題的一種重要方法賦值法.思考1: 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC 略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開后比較xn的系數(shù)得：再由 得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC求證求證:思考2 1.當n10時常用楊輝三角處理二項式系數(shù)問題; 2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項式系數(shù)的對稱性、增減性和最大值; 3.常用賦值法解決二項式系數(shù)問題.課本第43頁 A組 8題B組第2題課后作業(yè)課后作業(yè)敬請指導敬請指導