精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第二章 4 二項(xiàng)分布 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 §4二項(xiàng)分布 某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了3次投籃，假設(shè)每次投中的概率都為，且各次投中與否是相互獨(dú)立的，用X表示這3次投籃投中的次數(shù)，思考下列問題． 問題1：如果將一次投籃看成做了一次試驗(yàn)，那么一共進(jìn)行了多少次試驗(yàn)？每次試驗(yàn)有幾個(gè)可能的結(jié)果？ 提示：3次，每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相對(duì)立的結(jié)果投中(成功)，未投中(失敗)． 問題2：X＝0表示何意義？求其概率． 提示：X＝0表示3次都沒投中，只有C＝1種情況，P(X＝0)＝C3. 問題3：X＝2呢？ 提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C＝3種情況，每種情況發(fā)生的可能性為2·. 從而P(X＝2)＝C2·

2、. 二項(xiàng)分布 進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件： (1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”； (2)每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p； (3)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的． 用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，簡記為X～B(n，p)． 1．P(X＝k)＝C·pk(1－p)n－k.這里n為試驗(yàn)次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中成功的概率，k為n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)． 2．判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有三：

3、其一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否，二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)重復(fù)地進(jìn)行了n次；其三是各次試驗(yàn)相互獨(dú)立． 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算 [例1]　在人壽保險(xiǎn)事業(yè)中，很重視某一年齡段的投保人的死亡率．假如每個(gè)投保人能活到70歲的概率為0.6，試問3個(gè)投保人中： (1)全部活到70歲的概率； (2)有2個(gè)活到70歲的概率； (3)有1個(gè)活到70歲的概率． [思路點(diǎn)撥]　每人能否活到70歲是相互獨(dú)立的，利用二項(xiàng)分布公式可求． [精解詳析]　設(shè)3個(gè)投保人中活到70歲的人數(shù)為X，則X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C0.6k·(1－0.6)3

4、－k(k＝0,1,2,3)． (1)P(X＝3)＝C·0.63·(1－0.6)0＝0.216； 即全部活到70歲的概率為0.216. (2)P(X＝2)＝C·0.62·(1－0.6)＝0.432. 即有2個(gè)活到70歲的概率為0.432. (3)P(X＝1)＝C·0.6·(1－0.6)2＝0.288. 即有1個(gè)活到70歲的概率為0.288. [一點(diǎn)通]　要判斷n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)X是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵是看試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)為： (1)每次試驗(yàn)是在相同的條件下進(jìn)行的； (2)每次試驗(yàn)的結(jié)果不會(huì)受其他試驗(yàn)的影響，即每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的； (3)基本事件

5、的概率可知，且每次試驗(yàn)保持不變； (4)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，要么發(fā)生，要么不發(fā)生． 1．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，出現(xiàn)“3個(gè)正面，1個(gè)反面”的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由題意，出現(xiàn)正面的次數(shù)X～B， ∴出現(xiàn)3個(gè)正面1個(gè)反面的概率為P(X＝3)＝C×3×＝. 答案：D 2．甲每次投資獲利的概率是p＝0.8，對(duì)他進(jìn)行的6次相互獨(dú)立的投資，計(jì)算： (1)有5次獲利的概率； (2)6次都獲利的概率． 解：用X表示甲在6次投資中獲利的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布B(6,0.8)，且 (1)P(X＝5)＝C0.85(1－0.8)≈0

6、.39， 他5次獲利的概率約等于0.39. (2)P(X＝6)＝C0.86≈0.26. 他6次都獲利的概率約等于0.26. 3．甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，求： (1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率； (2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率； (3)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率． 解：(1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為C3＝. (2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為 C2＋C3＝. (3)設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A，乙恰好擊中目標(biāo)2次且甲恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1，乙恰好擊中目標(biāo)3次且甲恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A＝B1＋B2，B1，

7、B2為互斥事件． P(A)＝P(B1)＋P(B2) ＝C2·C3＋C3·C3 ＝＋＝. 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列 [例2]　(12分)從學(xué)校乘車到火車站的途中有三個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)．求 (1)隨機(jī)變量X的分布列； (2)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率． [思路點(diǎn)撥]　求隨機(jī)變量的分布列，首先應(yīng)根據(jù)題目中的條件確定離散型隨機(jī)變量的取值，然后再求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率． [精解詳析]　(1)由題意X～B， 則P(X＝0)＝C03＝， (3分) P(X＝1)＝C12＝，

8、 (4分) P(X＝2)＝C21＝， (5分) P(X＝3)＝C30＝. (6分) ∴X的分布列為 X＝k 0 1 2 3 P(X＝k) (8分) (2)由題意知，“至少遇到一次紅燈”的對(duì)立事件是“一次紅燈都沒有遇到”．因此有 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. (12分) [一點(diǎn)通]　解決這類問題一般步驟： (1)判斷所述問題是否是相互獨(dú)立試驗(yàn)；(2)建立二項(xiàng)分布模型；(3)求出相應(yīng)概率；(4)寫出分布列． 4．設(shè)某批電子手表正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電

9、子手表進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則P(X＝3)等于(　　) A．C2× B．C2× C.2× D.2× 解析：P(X＝3)是前兩次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，則P(X＝3)＝2×. 答案：C 5．某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)X的分布列． 解：由題意，得到的次品數(shù)X～B(2,0.05)， P(X＝0)＝C×0.952＝0.902 5； P(X＝1)＝C×0.05×0.95＝0.095； P(X＝2)＝C×0.052＝0.002 5. 因此，次品數(shù)X的分布列如下： X＝k 0 1 2 P(X

10、＝k) 0.902 5 0.095 0.002 5 6．射擊運(yùn)動(dòng)員在雙向飛碟比賽中，每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍，擊中兩個(gè)飛靶得2分，擊中一個(gè)飛靶得1分，不擊中飛靶得0分．某射擊運(yùn)動(dòng)員在每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍時(shí)，第一槍命中率為，第二槍命中率為，該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行2輪比賽． (1)求該運(yùn)動(dòng)員得4分的概率為多少？ (2)若該運(yùn)動(dòng)員所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列． 解：(1)記“運(yùn)動(dòng)員得4分”為事件A， 則P(A)＝×××＝. (2)X的可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝P(X＝4)＝， P(X＝1)＝P(X＝3) ＝C3＋C3＝， P(X＝2)＝4＋4＋422＝. ∴X的分

11、布列為 X＝k 0 1 2 3 4 P(X＝k) 1．各次試驗(yàn)互不影響，相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，且這兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的；兩個(gè)結(jié)果在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率不變，是判斷隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的三個(gè)條件． 2．二項(xiàng)式[(1－p)＋p]n的展開式中，第k＋1項(xiàng)Tk＋1＝C(1－p)n－kpk，可見P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k就是二項(xiàng)式[(1－p)＋p]n的展開式中的第k＋1項(xiàng)． 1．若X～B，則P(X＝2)＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵X～B， ∴P(X＝2)＝C24＝. 答案

12、：D 2．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，由題意得1－Cp0(1－p)4＝.所以1－p＝，p＝. 答案：A 3．某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：至少有2次擊中目標(biāo)包含以下情況： 只有2次擊中目標(biāo)，此時(shí)概率為 C×0.62×(1－0.6)＝， 3次都擊中目標(biāo)，此時(shí)的概率為C×0.63＝， ∴至少有2次擊中目標(biāo)的概率為＋＝.

13、 答案：A 4．甲、乙兩名籃球隊(duì)員輪流投籃直至某人投中為止，設(shè)甲每次投籃命中的概率為0.4，乙投中的概率為0.6，而且不受其他次投籃結(jié)果的影響，設(shè)投籃的輪數(shù)為X，若甲先投，則P(X＝k)等于(　　) A．0.6k－1×0.4 B．0.24k－1×0.76 C．0.4k－1×0.6 D．0.76k－1×0.24 解析：甲每次投籃命中的概率為0.4，不中的概率為0.6，乙每次投籃命中的概率為0.6，不中的概率為0.4， 則在一輪中兩人均未中的概率為0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率為0.76. 所以P(X＝k)的概率是前k－1輪兩人均未中，第k輪時(shí)至少有一人中，則P

14、(X＝k)＝0.24k－1×0.76. 答案：B 5．設(shè)X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，則p＝________. 解析：∵X～B(2，p)， ∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2. ∴P(X≥1)＝1－P(X<1) ＝1－P(X＝0) ＝1－Cp0(1－p)2 ＝1－(1－p)2. 由P(X≥1)＝，得1－(1－p)2＝， 結(jié)合0

15、有2粒發(fā)芽的概率為：C22＝. 答案： 7．某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊的結(jié)果互不影響．該射手射擊了5次，求： (1)其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率； (2)其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率． 解：(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也即在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又各次射擊的結(jié)果互不影響，故所求其概率為 P1＝××××＝； (2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，擊中次數(shù)X～B(5，)，故所求其概率為 P(X＝3)＝C×3×2＝. 8．(四川高考)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布列． 解：(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1－P()＝1－p＝，解得p＝. (2)由題意，P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C×2×＝， P(X＝2)＝C××2＝， P(X＝3)＝C×3＝. 所以，隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 0 1 2 3 P