新編數(shù)學人教A版必修五優(yōu)化練習：第二章 章末優(yōu)化總結 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 章末檢測(二)　數(shù)列 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．在等差數(shù)列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，則a1等于(　　) A．－10　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．10 解析：設公差為d，∴a7－a5＝2d＝4，∴d＝2，又a3＝a1＋2d，∴－6＝a1＋4，∴a1＝－10. 答案：A 2．在等比數(shù)列{an}中，a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的兩根，則a8等于(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．不能確定 解析

2、：由題意得，a4＋a12＝－3<0，a4·a12＝1>0， ∴a4<0，a12<0，∴a8<0， 又∵a＝a4·a12＝1，∴a8＝－1. 答案：B 3．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n，那么它的通項公式an＝(　　) A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1 解析：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，當n＝1時，a1＝S1＝2，也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 答案：B 4．若數(shù)列{an}滿足an＝qn(q>0，n∈N*)，則以下命題正確的是(　　) ①{a2n}是等比數(shù)列；②是等比數(shù)列； ③{

3、lg an}是等差數(shù)列；④{lg a}是等差數(shù)列． A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 解析：因為an＝qn(q>0，n∈N*)，所以{an}是等比數(shù)列，因此{a2n}，是等比數(shù)列，{lg an}，{lg a}是等差數(shù)列． 答案：D 5．已知數(shù)列2，x，y,3為等差數(shù)列，數(shù)列2，m，n,3為等比數(shù)列，則x＋y＋mn的值為(　　) A．16 B．11 C．－11 D．±11 解析：根據(jù)等差中項和等比中項知x＋y＝5，mn＝6，所以x＋y＋mn＝11，故選B. 答案：B 6．已知Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1·n，則S6＋S10＋S15等于(

4、　　) A．－5 B．－1 C．0 D．6 解析：由題意可得S6＝－3，S10＝－5，S15＝－7＋15＝8，所以S6＋S10＋S15＝0. 答案：C 7．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a7＝4a，a2＝2，則a1＝(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：設{an}的公比為q，則有a1q2·a1q6＝4aq6，解得q＝2(舍去q＝－2)，所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1.故選A. 答案：A 8．設等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d.若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：∵a＝a1a

5、2k，∴(8＋k)2d2＝9d(8＋2k)d，∴k＝4(舍去k＝－2)． 答案：B 9．計算機的成本不斷降低，若每隔3年計算機價格降低，現(xiàn)在價格為8 100元的計算機，9年后的價格可降為(　　) A．900元 B．1 800元 C．2 400元 D．3 600元 解析：把每次降價后的價格看做一個等比數(shù)列，首項為a1，公比為1－＝，則a4＝8 100×2＝2 400. 答案：C 10．一個凸多邊形的內角成等差數(shù)列，其中最小的內角為120°，公差為5°，那么這個多邊形的邊數(shù)n等于(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 解析：由題意得，120°n＋n(n－1)

6、×5°＝180°(n－2)，化簡整理，得n2－25n＋144＝0， 解得n＝9或n＝16.當n＝16時，最大角為120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，不合題意．∴n≠16.故選C. 答案：C 11．設{an}是公差為－2的等差數(shù)列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，則a3＋a6＋a9＋…＋a99的值為(　　) A．－78 B．－82 C．－148 D．－182 解析：∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，d＝－2，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d＝5

7、0＋33×(－4)＝－82. 答案：B 12．定義：稱為n個正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．2n－1 B．4n－1 C．4n－3 D．4n－5 解析：設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，由已知得＝＝，∴Sn＝n(2n－1)＝2n2－n.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，當n＝1時，a1＝S1＝2×12－1＝1適合上式，∴an＝4n－3. 答案：C 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．已知Sn是等比

8、數(shù)列{an}的前n項和，a5＝－2，a8＝16，則S6等于________． 解析：∵{an}為等比數(shù)列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，∴S6＝＝＝. 答案： 14．設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________. 解析：設等差數(shù)列公差為d，則S3＝3a1＋×d＝3a1＋3d＝3，a1＋d＝1，① 又S6＝6a1＋×d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.② 聯(lián)立①②兩式得a1＝－1，d＝2，故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15. 答案：15 15．在等差數(shù)列{an}中，Sn為它的前n

9、項和，若a1>0，S16>0，S17<0，則當n＝________時，Sn最大． 解析：∵， ∴a8>0，而a1>0， ∴數(shù)列{an}是一個前8項均為正，從第9項起為負值的等差數(shù)列，從而n＝8時，Sn最大． 答案：8 16．已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 016＝________. 解析：由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝， 則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－， S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016 ＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－1. 答案：－1 三、解答題(本大題共有6小

10、題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)在等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)設bn＝log3an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解析：(1)設{an}的公比為q， 依題意得解得 因此an＝3n－1. (2)因為bn＝log3an＝n－1，且為等差數(shù)列， 所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝. 18．(12分)已知等差數(shù)列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5. (1)求{an}的通項公式an； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝a2n－1，求{bn}的通項公式bn. 解析：(1)設{an}的首項是a1，公差為d，

11、 依題意得 ∴ ∴an＝5n－25(n∈N*)． (2)∵an＝5n－25， ∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30， ∴bn＝10n－30(n∈N*)． 19．(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求{an}的通項公式； (2)設等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7.問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？ 解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a4－a3＝2，所以d＝2. 又因為a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n∈N*)． (2)設等比數(shù)列

12、{bn}的公比為q. 因為b2＝a3＝8，b3＝a7＝16， 所以q＝2，b1＝4. 所以b6＝4×26－1＝128. 由128＝2n＋2，得n＝63. 所以b6與數(shù)列{an}的第63項相等． 20．(12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意，得，解得. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1. Sn＝na1＋n(n－1)d＝3n＋n(n－1)×2＝n2＋2n. (2)由(

13、1)知an＝2n＋1， ∴bn＝＝＝· ＝， ∴Tn＝ ＝＝. 21．(13分)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列． (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝1－Sn，問：是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，求出a1的值；若不存在，請說明理由． 解析：(1)依題意，得2Sn＝an＋1－a1， 當n≥2時，有 兩式相減，得an＋1＝3an(n≥2)． 又因為a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0， 所以數(shù)列{an}是首項為a1，公比為3的等比數(shù)列． 因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)． (2)

14、因為Sn＝＝a1·3n－a1， bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n. 要使{bn}為等比數(shù)列，當且僅當1＋a1＝0，即a1＝－2， 所以存在a1＝－2，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 22．(13分)求和：x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn(x≠0)． 解析：設Sn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn， ∴xSn＝x2＋3x3＋5x4＋…＋(2n－3)xn＋(2n－1)xn＋1. ∴(1－x)Sn＝x＋2x2＋2x3＋…＋2xn－(2n－1)xn＋1 ＝2(x＋x2＋x3＋…＋xn)－x－(2n－1)xn＋1 ＝2－x－(2n－1)xn＋1(x≠1)， 當x≠1時，1－x≠0， Sn＝－. 當x＝1時，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2. 所以Sn＝