2018年高考數(shù)學 熱點題型和提分秘籍 專題18 平面向量的概念及其線性運算 文

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1、 專題18 平面向量的概念及其線性運算 1.了解向量的實際背景 2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義 3.理解向量的幾何表示 4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義 5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義 6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義 熱點題型一 平面向量的有關概念 例1、給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b。 其中真命題的序號是__________。

2、 【答案】②③ 【解析】①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同。②正確．∵＝，∴| 【提分秘籍】平面向量中常用的幾個結論 (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。 (2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。 (3)是與a同向的單位向量，－是與a反向的單位向量。 【舉一反三】 設a0為單位向量，①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0。上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 【答案】D 熱點題型二 平面向量的

3、線性運算 例2、【2017天津】在中，，，.若，，且，則的值為___________. 【答案】 【解析】 ,則 . 【變式探究】 (1)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝__________。 (2)已知P，A，B，C是平面內四點，且＋＋＝，那么一定有(　　) A.＝2 B.＝2 C.＝2 D.＝2 【答案】（1）2 （2）D 【解析】(1)∵＋＝＝2，∴λ＝2。 (2)∵＋＋＝＝－， ∴＝－2＝2。 【提分秘籍】 向量線性運算的方法技巧 向量線性運算，要轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，

4、利用三角形中位線、相似三角形等平面幾何的性質，把未知向量轉化為已知向量(基底向量)來求解。 【舉一反三】 在△ABC中，已知D是AB邊上一點，＝＋λ，則實數(shù)λ＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】D 【解析】如圖，D是AB邊上一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，過點D作DF∥AC，交BC 例3．【2017江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對應的的值. 【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為. 【解析】 【變式探究】設兩個非零向量a與b不共線， (1)若

5、＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)。 求證：A、B、D三點共線。 (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線。 【解析】(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5?！?、共線，又∵它們有公共點B， ∴A、B、D三點共線。 (2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數(shù)λ， 使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb。 ∴(k－λ)a＝(λk－1)b。 ∵a、b是不共線的兩個非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0，∴k＝±1。 【提分秘籍】 1．共線向量定理

6、及其應用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值。 (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結論結合待定系數(shù)法應用非常廣泛。 2．證明三點共線的方法 若＝λ，則A，B，C三點共線。 【舉一反三】 已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實數(shù)λ的值為__________。 【答案】1 1.【2017課標3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解

7、析】如圖所示，建立平面直角坐標系 點在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A。 【考點】 平面向量的坐標運算；平面向量基本定理 2.【2017北京】設m,n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若，使，即兩向量反向，夾角是，那么T，若，那么兩向量的夾角為 ，并不一定反向，即不一定存在負數(shù)，使得，所以是充分不必要條件，故選A. 【考點】1.向量；

8、2.充分必要條件. 3.【2017課標II，理12】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考點】 平面向量的坐標運算；函數(shù)的最值 4.【2017課標1】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 【解析】利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度， 所以. 【考點】平面向量的運算. 5.【2017

9、天津】在中，，，.若，，且，則的值為___________. 【答案】 【解析】 ,則 . 【考點】向量的數(shù)量積 6.【2017山東】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是 . 【答案】 【考點】1.平面向量的數(shù)量積.2.平行向量的夾角.3.單位向量. 7．【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4， 【解析】設向量的夾角為，由余弦定理有： ， ，則： ， 令，則， 據此可得： ， 即的最小值是4，最大值是． 【考點】平面向量模長運算 8.【2017浙江，

10、10】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記，，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為， ， ，所以，故選C。 【考點】 平面向量數(shù)量積運算 9.【2017江蘇，12】如圖,在同一個平面內，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 ▲ . A C B O (第12題) 【答案】3 ， 所以． 【考點】向量表示 10.【2017江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值

11、以及對應的的值. 【答案】（1）（2）時，取得最大值，為3； 時，取得最小值，為. 【解析】 【考點】向量共線，數(shù)量積 1.【2016高考新課標2理數(shù)】已知向量，且，則（ ） （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量，由得，解得，故選D. 2.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，， ，則 的值是 ▲ . 【答案】 【2015高考新課標1，理7】設為所在平面內一點，則（ ） （A） (B)

12、 （C） (D) 【答案】A 【解析】由題知=，故選A. 1．（2014·遼寧卷）設a，b，c是非零向量，已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0，命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c，則下列命題中真命題是(　　) A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) 【答案】A　 【解析】由向量數(shù)量積的幾何意義可知，命題p為假命題；命題q中，當b≠0時，a，c一定共線，故命題q是真命題．故p∨q為真命題． 2．（2014·新課標全國卷Ⅰ] 已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為________． 【答案】90°　 【

13、解析】由題易知點O為BC的中點，即BC為圓O的直徑，故在△ABC中，BC對應的角A為直角，即AC與AB的夾角為90°. 3．（2014·四川卷）平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】2　 【解析】c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由題意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2. 1.下列說法正確的是　(　　) A.若a與b都是單位向量，則a=b B.若a=b，則|a|=|b|且a與b的方向相同 C.若a+b=0，則|a|=|b| D.若a-b=0

14、，則a與b是相反向量 2.已知點D是△ABC的邊AB的中點，則向量等于　(　　) A.-+ B.-- C.- D.+ 【解析】選A.因為點D是AB的中點，所以=+=+=-+. 3.已知點P是四邊形ABCD所在平面內的一點，若=(1+λ)-λ，其中λ∈R，則點P一定在　(　　) A.AB邊所在的直線上 B.BC邊所在的直線上 C.BD邊所在的直線上 D.四邊形ABCD的內部 【解析】選C.因為=(1+λ)-λ，所以-=λ(-)，所以= λ，所以B，D，P三點共線，因此點P一定在BD邊所在的直線上. 4.已知向量a與b共線反向，則下列結論正確的是　(　　)[

15、 A.|a+b|=|a|+|b| B.|a+b|=|a|-|b| C.|a-b|=|a|+|b| D.|a-b|=|a|-|b| 【解析】選C.因為向量a與b共線反向，所以|a+b|<|a|+|b|，|a+b|≥0，而|a|-|b|的符號不確定，所以A，B不正確.同理，D不正確，C顯然正確. 5.已知下列結論 ①已知a是非零向量，λ∈R，則a與λ2a方向相同 ②已知a是非零向量，λ∈R，則|λa|=λ|a| ③若λ∈R，則λa與a共線 ④若a與b共線，則存在λ∈R，使a=λb 其中正確的個數(shù)為　(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 6.在平行四邊形ABC

16、D中，點E是AD的中點，BE與AC相交于點F，若=m+n (m，n∈R)，則的值為　(　　) A.-2 B.- C.2 D. 【解析】選A.如圖.設=a，=b， 7.已知D為△ABC的邊AB的中點.M在DC上且滿足5=+3，則△ABM與△ABC的面積比為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選C.如圖，由5=+3得 2=2+3-3， 即2(-)=3(-)， 即2=3，故=， 故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5， 故S△ABM∶S△ABC=3∶5. 8.在△ABC中，N是AC邊上一點，且=，P是BN上的一點，若=m+，則實數(shù)m的值

17、為　(　　) A. B. C.1 D.3 9.O是△ABC所在平面外一點且滿足=+ λ，λ為實數(shù)，則動點P的軌跡必經過△ABC的　(　　) A.重心　　B.內心　　C.外心　　D.垂心 【解析】選B.如圖，設==，已知均為單位向量， 故?AEDF為菱形，所以AD平分∠BAC， 由=+λ 得=λ，又與有公共點A， 故A，D，P三點共線， 所以P點在∠BAC的平分線上，故動點P的軌跡經過△ABC的內心. 10.已知A，B，C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足=，則點P一定為三角形ABC的　(　　) A.AB邊中線的中點 B.AB邊中線的

18、三等分點(非重心) C.重心 D.AB邊的中點 近C點的一個三等分點. 11.已知點D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且=a，=b，給出下列命題: ①=a-b; ②=a+b; ③=-a+b; ④++=0. 其中正確命題的序號為　　　　. 【答案】②③④ 【解析】=a，=b，=+ =-a-b，故①錯; =+=a+b，故②正確; 12.在?ABCD中，=a，=b，3=，M為BC的中點，則=　　　　　.(用a，b表示) 【答案】-a-b 13.在△ABC中，=c，=b，若點D滿足=2，則=　　　　. 【答案】b+c 【解析】如圖，因為在△

19、ABC中，=c，=b，且點D滿足=2， 所以+=2(+)，=+=b+c. 14.在△ABC中，已知D是AB邊上一點，=+λ，則實數(shù)λ=　　　　　. 【答案】 15.已知a，b不共線，=a，=b，=c，=d，=e，設t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上?若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由. 【解析】由題設知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得=k， 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb， 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b， 因為a，b不共線， 所以有 解之得t=. 故存在實數(shù)t=使C，D，E三點在一條直線上. 16.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，若=m+，求實數(shù)m的值. 17.已知△ABC中，=a，=b，對于平面ABC上任意一點O，動點P滿足=+λa+λb，若動點P的軌跡與邊BC的交點為M，試判斷M點的位置. 【解析】依題意，由=+λa+λb， 得-=λ(a+b)， 即=λ(+). 如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，對角線交于點M， 點. 22